21. Расчет числа линий в системах с ожиданием (число испытательных стендов, оптимизационный подход)

,

Подходы для выбора :

1. Алгебраический подход

Расчёт числа испытательных стендов на заводе.

Линия – испытательный стенд (ИС).

Вызов – изделие, направляемое на контроль.

Поток готовой продукции можно считать неограниченным, производственный процесс является непрерывным => поток изделий на контроль можно считать неограниченным (и непрерывным) и простейшим.

– время контроля – показательно распределённая случайная величина с параметром

Обслуживание – контроль.

Требования к СО и способ их учёта:

Загрузка ИС должна быть достаточно высокой, но не 100% (ИС нужен ремонт).

] П – вероятность полной загрузки. ] П=1. Контроль качества должен осуществляться достаточно быстро. Тогда:

;

2. Оптимизационный подход

1. Задаётся максимальный уровень полной загрузки – Требуется найти минимальное число линий, обеспечивающее

2. – максимальное время, в течение которого вызов

может ждать обслуживания.

;

22. Практические приложения модели систем с ожиданием (расчет объема памяти илм, оптимальная интенсивность пополнения запаса товаров)

Расчет объема памяти информационно-логической машины (ИЛМ).

Вызов – сообщение на обработку. Входящий поток – поток сообщений. Его можно считать простейшим и неограниченным с параметром (сообщений в минуту).

Конструкция машины позволяет обрабатывать одновременно только одно сообщение, то есть n = 1. Обслуживание – обработка. - время обработки сообщений – распределено по показательному закону с параметром (сообщений в минуту). зависит от характера обработки.

Если в момент получения очередного сообщения ИЛМ оказывается занятым, это новое сообщение записывается в буферную память. ] - длина промежутка времени, в течение этого промежутка сообщение в обработку не поступит, то оно отбрасывается. Требуется выбрать объем памяти N.

В этой модели допустимы размеры очереди. Аргументы к использованию – так как заранее не известно, где «рвать», и допускаются размеры очереди. Несмотря на это, большие размеры очереди маловероятны. Это означает, что очередь конечна.

Выберем условие, с помощью которого может быть найден исходный размер памяти. Для этого заметим, что сообщение может теряться по двум причинам:

1. Оно устаревает (обесценивается) .

2. Буферная память заполнена. Длина очереди .

Целесообразно считать, что если сообщение теряется, то это следствие обеих вышеуказанных причин. Для этого необходимо, чтобы вероятности этих причин совпадали.

будем искать .

1. , так как , .

2. 

( ) =/геометрическая прогрессия/= .

Поскольку система однолинейная, . Теперь приравниваем и .

, ;

, , так как , так как .

Оптимальная интенсивность пополнения запаса товаров в магазине.

Входящий поток – поток покупателей. Кроме того, существует и поток товаров.

Обслуживание – обеспечение покупателя товаром. В такой СОЖ за любой конечный промежуток может поступить любое количество покупателей. - вероятность того, что за время поступит вызовов. В СОЖ каждый вызов обязательно должен быть обслужен. Задача некорректная, так как поток товаров конечный, а покупателей – бесконечный.

каждый вызов обязательно будет обслужен. Здесь все корректно, поскольку каждая единица товара будет продана и каждый покупатель обслужен.

Допущения:

1. Поток товаров данного наименования для данного магазина – простейший с параметром ( - интенсивность). пуассоновский, .

2. Поток покупателей простейший с параметром . - вероятность того, что за время будет ровно покупателей. , .

- длина промежутка между моментами прихода двух последовательных покупателей. имеет показательное распределение с параметром ( ). ( - интенсивность потока покупателей).

3. В одни руки – одна единица товара. - вероятность того, что спрос будет предъявлен на единиц товара, то есть и спрос имеет пуассоновский вид.

Вводим понятие линии, отвечаем, сколько их. Что значит «линия занята»? Что такое обслуживание? Какой у обслуживания закон?

Условная линия – спрос. - есть спрос, - нет спроса. Спрос есть – линия свободна (есть покупатели, готовые унести товар), спроса нет – линия занята (некому обслуживать единицы товара).

- время обслуживания.

За время : -Линия не освободится. . Предыстория не играет роли.

-Линия освободится.

Состояние СО – размер запаса товаров.

. - количество вызовов в системе, - количество вызовов в очереди, c количество вызовов на обслуживании. Поскольку нет физической линии, нет вызова на обслуживании. =0,1.

, : 0, 1, 2, …,

Вероятности

Обе очереди не могут быть одновременно полож-ми. Если существует 1 очередь, то нет другой. Если товара нет, то неизвестно свободна ли линия (спрос может быть, а может не быть). означает, что товар в магазине отсутствует. - доля времени нулевого состояния, - доля времени, когда товар присутствует.

Поставим экстремальную задачу.

Пусть издержки управления запасами товаров в магазине состоят из:

1. издержек хранения запасов товара в магазине

2. издержек вследствие дефицита

Пусть - издержки хранения единицы товара в промежутке времени единичной длины

Пусть - издержки вследствие дефицита в единицу времени

- общее количество вызовов

- издержки хранения; - издержки из-за дефицита; - доля дефицита

- коэффициент пропорциональности; при

Т.к должна сх-ся сумма геом прогр:

Замечание: Функционирование стоянки такси. Поток: пассажиров и автомобилей. Входящий поток – поток автомашин. - оптимальная интенсивность прибытия автомашин.