Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел:  (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

  Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Нередко в практических  заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

 – тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра  может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры: , , ,

Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

Почему? Потому-что многочлен  не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

14. вопрос: Предел функций. Основные теоремы о пределах.

Рассмотрим  некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности.

 Определение 1. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция  стремится к пределу  при х, стремящемся к , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от   и удовлетворяющих неравенству  , имеет место н еравенство 

  .

Если  есть предел функции f(x) при , то пишут:   или f (x) при  .

 Если  при  , то на графике функции , т.к. из неравенства  следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки  не далее чем на , точки М  графика функции  лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми   и   (рис. 2).

  Рис. 2

 Рассмотрим переменную величину у = f (х). При этом считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений  функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при  стремится к некоторому пределу , то будем писать

 

и говорить, что функция у = f (х) стремится к пределу b при .

 Легко доказать, что оба определения предела функции эквива­лентны. Замечание.

 Если f (x) стремится к пределу b₁ при х, стре­мящемся к некоторому числу  так, что x принимает только значения, меньшие , то пишут  и называют b₁ пределом функ­ции f(x) в точке  слева. Если х при­нимает только значения большие, чем , то пишут  и называют b₂, пределом функции в точке   справа.

 Можно доказать, что если, предел справа и предел слева существуют и равны, т. е. , то b и будет пределом в смысле данного выше оп­ределения предела в точке . И об­ратно, еслт предел функции b в точке , то существуют пределы функции в точке   справа и слева и они равны.

 Замечание. Для существования предела функции при  не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки , отличные от ; это положение наглядно иллю­стрируется следующим примером.

  Пример.  Докажем, что . Здесь функция  не определена при х = 2.

 Нужно  доказать, что при произвольном  найдется такое , что будет выполняться неравенство 

  , (1)

если | х — 2 | < . Но при х 2 неравенство (1) эквивалентно неравенству

   (2)

или  . 

Таким  образом, при произвольном  неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь  ). А это и значит, что данная функция при  имеет пределом число 4.

Рассмотрим  некоторые случаи изменения функции при  . Определение 2. Функция f(x) стремится к пределу , если для каждого произвольно малого положительного числа  можно указать такое положитель­ное число N, что для всех значении х, удовлетворяющих неравенст­ву  , будет выполняться неравенство .

  Зная смысл символов:  очевидным является и смысл выражений:

    стремится к b при  и

    стремится к b при ,

 которые символически записываются так:

  ,  .

 Не для всякой функции существует предел

1.  Предел константы равен самой этой константе:

с = с.

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k •  f (х)] = k •   f (х).

3.  Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х) ± g (х)] =   f (х) ±  g (x).

4.  Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х) • g (х)] =   f (х) •   g (x).

5.  Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.

Пример   1.   Найти

При х —> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:

(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе   f (х), то обычно предполагаем, что функция f (х) определена во в с е х   точках, достаточно близких к точке х = а. Однако функция определена лишь для положительных значений х. Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х —> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)

Пример   4.    Найти

Предел знаменателя дроби при х —> 0 равен 0. Поэтому непосредственное использование теоремы о пределе частного здесь невозможно. Кроме того, данную дробь нельзя сократить, как мы делали это в примерах 2 и 3. В данном случае числитель и знаменатель дроби следует умножить на выражение √1 + х + 1, сопряженное знаменателю дроби. В результате получим:

Пример 5. Найти

При х —> 4 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому применить теорему о пределе дроби нельзя. Преобразуем дробь, представив знаменатель в виде произведения:

14. вопрос: Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. (Функция натурального аргумента, ее типы образования дискретное прям. Множество)