1. Группировка неизвестных.

При расчете сооружений, имеющих несколько пролетов, невозможно поместить все неизвестные на оси симметрии; поэтому для получения симметричных и обратносимметричных эпюр приходится принимать за неизвестные не отдельные, силы, а группы сил.

Если же за неизвестные принять не силы Х1, Х2, Х3, X4, Х5 и Х6, а группы сил Z1 Z2, Z3, Z4, Z5 и Z6 (рис. 6.70, в), из которых Z1 представляет собой две одновременно действующие равные и противоположно направленные горизонтальные силы;

Z2— две равные горизонтальные силы, направленные в одну сторону;

Z3— две равные вертикальные силы, направленные вверх;

Z4— две равные вертикальные силы, направленные в противоположные стороны;

Z5— два равных противоположно направленных момента;

Z6— два равных момента, действующих в одном направлении, то многие коэффициенты окажутся равными нулю, так как будут определяться произведением симметричных эпюр на обратносимметричные.

Сопоставив две основные системы, изображенные на рис. 6.70, б, в, нетрудно убедиться в том, что между лишними неизвестными X и Z существуют следующие зависимости:

X1=Z1+Z2; X4=Z1-Z2;

Х2=Z3+Z4; X5=Z3-Z4;

X3=Z5+Z6 X6=Z5-Z6

В результате произведенной группировки неизвестных система канонических уравнений распадается на две независимые системы, в одну из которых войдут только симметричные, а в другую-обратно симметричные неизвестные.

18.

В этом случае вид системы экономичных уравнений метода сил зависит от выбора основной системы.

1 вариант. В качестве неизвестных принимаем реакции смещаемой опоры.

n=3K-Ш0

Штриховой линией показано положение рамы после того, как правая опора сместилась по горизонтали и вертикали соответственно на а и b и повернулась на угол ф.

Особенностью этой системы является то, что все приложенные к ней лишние неизвестные усилия действуют по направлениям заданных перемещений опоры: сила X1 совпадает с направлением горизонтального смещения опоры, сила Х2 действует по направлению вертикального ее смещения (но в обратную сторону), момент Х3 совпадает с заданным поворотом опорного сечения.

Лишние неизвестные усилия Х1, Х2, Х3 необходимо подобрать так, чтобы вызванные ими в основной системе перемещения по направлению каждого из этих усилий были равны соответствующим перемещениям опоры. Канонические уравнения, выражающие эту мысль, представятся в виде

Знак минус в правой части второго уравнения объясняется тем, что направление силы X2, противоположно направлению заданного смещения опоры по вертикали.

2 вариант. Неизвестными не являются реакции смещаемой опоры.

В данном случае смещение опоры B, необходимо рассматривать как некоторую условную нагрузку и в систему уравнений вводят свободные члены ΔiΔ, которые вычисляются по принципу расчёта перемещений в статически определимых системах от смещения опор.

Где Δ1Δ, Δ2Δ и Δ3Δ- перемещение в основной системе по направлениям X1,X2 и X3 от линейных смещений правой опоры по горизонтали и вертикали соответственно на a и b. Эти перемещения можно, как известно можно определить по формуле

3 вариант. Комбинированный метод основной системы.

Система уравнений будет иметь комбинированный характер

При расчете статически неопределимых систем на перемещения опор обычно канонические уравнения составляют с помощью теоремы о взаимности работ, так как этот прием обладает большей наглядностью; его можно также использовать и при расчете рам на заданную внешнюю нагрузку, но в этом случае он не имеет преимуществ по сравнению со способом составления канонических уравнений на основании принципа независимости действия сил.

19.

Канонические уравнения метода сил при расчете любой статически неопределимой системы на действие температуры имеют вид:

(6.7)

Здесь δ11, δ12,…,δnn — имеют те же значения, что и при расчете на действие внешней нагрузки; Δ1t, Δ2t, ..., Δnt—представляют собой температурные перемещения в основной системе по направлениям лишних неизвестных усилий X1, Х2,..., Хn.

Определяются эти перемещения по формуле

или

Смысл канонических уравнений в этом случае, как и обычно, заключается в том, что суммарные перемещения по направлениям отброшенных связей равны нулю.

20.

Неизвестными линейными перемещениями являются угловые перемещения (повороты в ведённых заделок) и линейные перемещения в ведённых линейных связей. Таким образом система уравнений метода перемещений является уравнениями статики, т.е. уравнениями реактивных усилий (моментов) во введённых линейных (угловых) связях. Уравнения метода перемещений — статические, это уравнения равновесия. Уравнения метода сил — кинематические, это уравнения перемещений. Ri=rij*zj+Rip=0-реактивное усилие.

zj-перемещение линейных неизвестных связей (угловой поворот).

rij-это реактивное усилие (М) в (i) связи возникающей в основной системе метода перемещений при единичном смещение (повороте j-связи).

Rip-реактивное усилие (M) в I связи в случае, когда основная система загружена внешними силами.

rij=rji

Так, например, в случае четырех неизвестных система канонических уравнений метода перемещений имеет вид:

Коэффициенты (реакции), r11, r22 и т. д, расположенные на главной диагонали, называются главными; коэффициенты (реакции) r12, r21, r31 и т. д. называются побочными; свободные члены R1p, R2p и т. д.— грузовыми реакциями. В этих уравнениях, так же как и в уравнениях метода сил, коэффициенты при неизвестных, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, т. е. связаны между собой условием взаимности rmn = rnm. Система канонических уравнений метода перемещений отличается от аналогичной системы метода сил тем, что вместо коэффициентов δnm и грузовых членов Δnр, выражающих перемещения в основной системе, в нее входят коэффициенты rnm и грузовые члены Rnp, выражающие реакции дополнительных закреплений в основной системе, а вместо неизвестных усилий X — неизвестные перемещения Z.

21.

Для определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от нагрузки и от единичных неизвестных перемещений (по направлениям введенных закреплений). Эпюру Мр в основной системе от заданной нагрузки для левой стойки построим, как для балки с двумя заделанными концами при действии сосредоточенной силы, а для ригеля — как для балки с заделкой на одном конце и шарнирной опорой. Опорные моменты будут равны:

Эпюры моментов Мр изображены на рис. 7.20, а. Эпюру моментов М1 от поворота заделки 1 на угол Z1= 1 по часовой стрелке построим в ригеле 1—2, и в стойке 0—1. Эпюра М1 показана на рис. 7.20, б.

Построение эпюры М2 для стоек от линейного перемещения узла 2 на Z2=1 вправо выполним по данным. В стержне 1—2 моменты отсутствуют, так как при смещении по направлению Z2 этот стержень не деформируется. Эпюра М2 показана на рис. 7.20, в.

После того как эпюры изгибающих моментов от нагрузки и единичных неизвестных перемещений в основной системе построены, можно перейти к определению коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений.

Все коэффициенты, а также и свободные члены уравнений разделим на две группы:

1) коэффициенты, представляющие реактивные моменты во введенных заделках;

2) коэффициенты, представляющие реактивные усилия во введенных стержнях.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных заделках, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия вида: ΣМ=0.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных стержнях, можно определить с помощью разреза элементов рамы и составления уравнений равновесия сил, действующих на отсеченную часть:

ΣТ=0

Направление оси Т выбирается так, чтобы уравнение получилось более простым. Установим следующее правило знаков для реакций заделок и опорных стержней.

Реактивное усилие будем считать положительным, если направление его действия совпадает с принятым направлением поворота или линейного смещения узла.

22.

Перейдем к расчету статически неопределимых стержневых систем на действие температуры методом перемещений. Основное отличие такого расчета от расчета на заданную внешнюю нагрузку состоит в построении эпюры изгибающих моментов Mt в основной системе от действия температуры и определении свободных (грузовых) членов системы канонических уравнений, которые в этом случае обозначаются R1t, R2t, . . . , Rnt и представляют реакции введенных связей в основной системе от действия температуры.

1) Симметричный температурный нагрев.

t0=(t1+t2)/2 несмотря на то, что при симметричном температурном режиме происходит изменение длины оси конструкции с учётом различия габаритов отдельных элементов-это может привести к изгибу конструкции.

2) Обратно симметричное температурное воздействие.

При обратном симметричном температурном воздействие узлы системы не перемещаются, происходит температурный изгиб элементарных статически неопределимых балок, причём ординаты эпюр изгибающих моментов откладываются со стороны наименее нагретых, т.е. растянутых волокон.

23.

Используется для расчёта геометрической симметрической системы при несимметрических внешних нагрузках. Сущность комбинированного приема расчета поясним на примере рамы, изображенной на рис. 7.59. Раскладывая действующую на нее несимметричную нагрузку на симметричное и обратносимметричное воздействия, получим два состояния рамы, изображенные на рис. 7.60, а, б.

Для каждого из этих состояний можно легко установить число неизвестных при расчете рамы методом сил и методом перемещений. Так, из симметрии деформации рамы при симметричном ее загружении следует, что смещение ригеля 1—2 по горизонтали равно нулю, а поворот узла 1 равен повороту узла 2 и противоположен ему по направлению, т. е. Z3=0, a Z1=Z2 (рис. 7.61, а).

Следовательно, рассчитывая раму методом перемещений на симметричную нагрузку, необходимо составить и решить одно уравнение с одним неизвестным. Применяя же для этого метод сил и используя основную систему, изображенную на рис. 7.61, б, а также учитывая при этом, что поперечная сила Х3 при симметричном загружении рамы равна нулю, придется составить и решить два уравнения с двумя неизвестными.

Очевидно, что на симметричную составляющую заданной нагрузки целесообразно рассчитать рассматриваемую раму методом перемещений. Основная система метода перемещений при воздействии на раму обратносимметричной нагрузки изображена на рис. 7.62, а. Число неизвестных равно двум. В самом деле, углы поворота узлов 1 и 2 (учитывая обратносимметричный вид нагрузки) будут как по величине, так и по направлению равны друг другу; ригель же 1—2 получит горизонтальное смещение, т. е. Z3≠0.

Рис. 7.62

Следовательно, рассчитывая раму методом перемещений при действии обратносимметричной нагрузки, необходимо составить два уравнения с двумя неизвестными. Рассчитывая раму на обратносимметричную нагрузку методом сил, можно воспользоваться основной системой, изображенной на рис. 7.62, б, в которой неизвестным усилием будет лишь поперечная сила Х3; момент же Х2 и продольная сила X1 при обратносимметричном загружении равны нулю. В этом случае придется решить лишь одно уравнение с одним неизвестным.

Таким образом, при расчете рассматриваемой рамы на обратно-симметричную составляющую заданной нагрузки целесообразно воспользоваться методом сил. (рис.7,61.б-эквивалентная система-если геометрическая симметрическая система загружена симметрическими внешними нагрузками, то обратносимметрическая неизвестная равна 0 и наоборот).

Таким образом стоится окончательная эпюра при рассматриваемой схеме а ( методом перемещений), окончательная эпюра при рассматриваемой схеме б (методом сил), строится суммарная окончательная эпюра.

Рассмотренный выше прием расчета симметричной рамы называется комбинированным способом. Он используется при расчетах симметричных систем на несимметричные нагрузки.

24.

В смешанном методе частью неизвестных будут являться реакции отброшенных связей, а частью неизвестных будут являться реакции во введённых связях, таким образом часть конструкции будет рассчитываться методом сил, а часть конструкции методом перемещений.

При смешанном методе расчета часть неизвестных представляет собой усилия — силы, моменты (как при расчете методом сил), а другая часть — перемещения — повороты, поступательные смещения (как при расчете методом перемещений). Ознакомимся со смешанным методом расчета на примере системы, изображенной на рис. 7.50, а.

Метод сил: n=3k-Ш0=12-1=11.

Метод перемещений: n=ny+nl=4+2=6

Рис. 7,50,б - основная система смешанного метода – эквивалентная система смешанного метода.

При расчете первого этажа заданной системы проще воспользоваться методом перемещений, а второго — методом сил.

Применение этого метода к рассматриваемой системе (рис. 7.50, а) позволяет свести задачу к решению четырех уравнений с четырьмя неизвестными— по методу сил и по методу перемещений. За неизвестные удобно принять углы поворота узлов первого этажа и усилия, возникающие в верхнем шарнире. Основная система смешанного метода изображена на рис. 7.50, б. Она получена удалением связей в верхней части рамы и добавлением их в нижней.

Составим канонические уравнения смешанного метода, смысл которых заключается в том, что в основной системе реакции, возникающие во введенных связях по направлениям неизвестных перемещений Z1 и Z2, а также перемещения по направлениям неизвестных усилий Х3 и X4 равны нулю:

Первые два уравнения- уравнения сил, вторые два уравнения- уравнения перемещений.

Рассмотрим подробно первое из этих уравнений и установим смысл каждого его слагаемого:

Z1r11— момент в первой заделке, вызванный её поворотом на угол Z1;

Z2r12— момент в первой заделке вызванный её поворотом во второй заделке на угол Z2;

Х3r13- момент в первой заделке, вызванный действием силы Х3;

Х4r14- момент в первой заделке, вызванный силой Х4;

R1p - реакция в основной системе, возникающая в первой заделке от заданной нагрузки. Сумма перечисленных реакций равна нулю, так как в действительности заделки нет, а следовательно, нет и ее реакции. Таким образом, первое уравнение является уравнением статики, оно выражает мысль о равенстве нулю реактивного момента, возникающего в первой заделке от действия неизвестных и заданной нагрузки. Такую же мысль выражает и второе уравнение.

Рассмотрим третье уравнение и установим смысл каждого его слагаемого:

Z1δ31- перемещение в основной системе по направлению Х3, возникающее от поворота первой заделки на величину Z1;

Z2δ32— перемещение в основной системе по направлению Х3,

возникающее от поворота второй заделки на величину Z2;

Х3δ33— перемещение в основной системе по направлению Х3 от сил Х3;

X4δ34— перемещение в основной системе по направлению Х3 от сил Х4;

Δ3р— перемещение в основной системе по направлению Х3 от заданной нагрузки.

Сумма перечисленных перемещений равна нулю, так как в действительности верхний шарнир не разрезан, а потому точки приложения сил Х3 расходиться не могут. Таким образом, третье уравнение выражает мысль о равенстве нулю перемещения; его можно назвать уравнением кинематики.

Такую же мысль выражает и последнее уравнение.

Коэффициенты при неизвестных полученной системы уравнений смешанного метода можно разделить на четыре категории:

1) коэффициенты, представляющие собой реакции, возникающие от единичных перемещений (поворот), например r12;

2) коэффициенты, представляющие собой реакции, возникающие от единичных усилий (сил или моментов), например г13;

3) коэффициенты, представляющие собой перемещения, возникающие от единичных перемещений, например δ31;

4) коэффициенты, представляющие собой перемещения, возникающие от единичных усилий, например δ34.

Коэффициенты при неизвестных системы уравнений смешанного метода связаны между собой соотношениями:

(7.16)

т. е. абсолютные значения коэффициентов, располагающихся на побочных диагоналях, удовлетворяют условию взаимности.

Первое- метод перемещений, второй- метод сил, третье- смешанное.

Группировка неизвестных для симметрических систем существенно упрощает решение.

26.