7.3.Распределение Стьюдента.

Определение: Пусть – независимые, нормально распределённые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными средними квадратическими отклонениями. Тогда случайная величина

Имеет распределение Стьюдента (T-распределение) с n степенями свободы.

В практических задачах используются также случайная величина , имеющая распределение Стьюдента с (n-1) степенями свободы.

Плотность вероятности случайной величины T имеет вид: , где .

Заметим, что с возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

7.4.Распределение Фишера-Снедекора.

Определение: Пусть и – независимые, нормально распределённые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными средними квадратическими отклонениями. Тогда случайная величина

имеет распределение Фишера-Снедекора с n и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид:

,

где .

Если случайные величины X и Y связанны, например, с помощью выборочных средних, то случайная величина имеет распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы k = n-1, l = m-1.

Данное распределение определяется двумя параметрами – числами степеней свободы.

8.Интервальные оценки и доверительные области.

Определение: Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Все оценки, рассмотренные выше (средние, дисперсии и т.д.), – точечные.

При выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. В таком случае следует пользоваться интервальными оценками.

Определение: Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

Пусть статистическая характеристика , найденная по данным выборки, служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным числом ( может быть и случайной величиной).

Если и , то чем меньше , тем оценка точнее. Следовательно, положительное число характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству . Можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Определение: Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство

Обычно надёжность оценки задаётся заранее, причём, в качестве берут число, близкое к единице: 0,95; 0,99; 0,999. А точность берут, в зависимости от задачи, равной 0,1; 0,01; 0,001.

.

Т.е. вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Определение: Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью .

– случайные концы (случайные величины), называемые доверительными границами (в различных выборках получаются различные значения ).

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман, исходя из идей английского статистика Р. Фишера.