Предисловие

Настоящее учебное пособие написано на основе лекций по математической статистике, читаемых автором в течение ряда лет в Санкт-Петербургском государственном инженерно-экономическом университете студентам очной формы обучения специальности 080116 – математические методы в экономике.

В книге изложены основные понятия и методы математической статистики, приведены доказательства практически всех теорем, и примеры их использования в экономических задачах. Теоретический материал выстроен в соответствии с Государственным образовательным стандартом и соответствует рабочей программе «Математическая статистика» по данной специальности.

При составлении книги автор ставил себе задачу изложить предмет наиболее просто и наглядно, придерживаясь, в то же время общепринятой терминологии и точности формулировок определений и теорем.

Автор выражает благодарность профессору М.М. Галилееву за ряд ценных указаний, а также студентам групп 3591 и 2191 СПбГИЭУ за помощь в оформлении данного учебного пособия.

С.Е. Игнатова

Введение

Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределённости.

Статистический метод в науке не противопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

Статистические методы весьма широко и плодотворно применяются во всех областях знания, в том числе и в экономике. Это вполне естественно, так как при углубленном изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них. Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов, в том числе и статистических методов.

Ряд важнейших основополагающих работ и исследований в области математической статистики принадлежит В.Я. Буняковскому, П.Л. Чебышеву, А.А.Маркову, А.М. Ляпунову, А.Н. Колмогорову, В.И. Романовскому, Н.В. Смирнову и др. Среди зарубежных ученых стоит отметить работы Р.Фишера, Д.Неймана, Г. Крамера и др.

1.Генеральная совокупность, выборка и основные способы организации выборки.

Познакомимся с основными понятиями и методами математической статистики.

Определение: Генеральная совокупность – это случайная величина или случайный вектор, заданный на вероятностном пространстве событий.

Определение: Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Можно дать и другое определение генеральной совокупности.

Определение: Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Определение: Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

Пример: Из 10000 деталей отобрано для обследования 1000 деталей.

Следовательно, объём генеральной совокупности N = 10000, а объём выборки n = 1000.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборка правильно его представляли. Т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если её осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Определение: Выборка называется репрезентативной, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попадания в выборку.

Способы организации выборки могут быть повторными и безповторными.

Определение: Если один и тот же объект генеральной совокупности попадает под наблюдение более одного раза, то способ составления выборки называется повторным. В противном случае он называется безповторным.

Заметим, что если объём выборки достаточно велик, то нет существенной разницы между безповторной и повторной выборками.

Также существует и другая классификация способов организации выборки:

• Механический способ, при котором объекты отбирают через определённый интервал (например, каждое десятое изделие с конвейера);

• простой (случайный) способ, при котором объекты отбирают случайно (например, каждый объект заменяют жетоном с номером, жетоны перемешивают и случайным образом берут несколько штук, а, затем, по ним берут объекты );

• типический способ, при котором объекты генеральной совокупности разбивают на непересекающиеся группы, а из них случайным образом берут объекты;

• серийный способ, при котором объекты разбивают на непересекающиеся группы и берут случайным образом некоторые из группы.

Типическим способом пользуются тогда, когда результат наблюдения заметно колеблется в различных типических группах генеральной совокупности.

Серийным способом пользуются тогда, когда результат наблюдения колеблется незначительно в различных группах, и тогда наблюдению подвергаются все объекты случайно выбранной группы (серии).