13.1.1.Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии по несгруппированным данным.

Пусть имеются две случайные величины Х и Y и проводится их измерение.

Предположим, что каждая пара значений (Х, Y) наблюдалось по одному разу.

В результате n независимых опытов получено n пар чисел:

( , ), ( , ), …, ( , ).

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии Y на Х (для определенности) в виде:

= kx + b. (1)

Так как по выборочным данным можно получить только оценки параметров, то оценку коэффициента k обозначим через , а оценку b – через , т.е.

= + . (2)

– выборочный коэффициент регрессии Y на Х .

Подберем параметры и так, чтобы точки ( , ), ( , ), …, ( , ), построенные по данным наблюдений, на плоскости лежали как можно ближе к прямой (2).

Обозначим через значение величины Y, соответствующее значению , а через – значение , которое можно получить из выражения (2) при Х = .

Подберем параметры и так, чтобы сумма квадратов отклонений ( - ) была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов).

Возьмем разности ( - , возведем их в квадрат и просуммируем. Получим функцию:

f( , ) = = .

Приравнивая и к нулю, получаем два уравнения для определения и :

После элементарных преобразований эти уравнения приводятся к виду:

Аналогично находится выборочное уравнение линейной регрессии Х на Y:

= у + ,

где

– выборочный коэффициент регрессии Х на Y.

Это можно записать проще, используя обозначения:

= ,

=

= ,

= ,

= .

Тогда неизвестные параметры выборочного уравнения линейной регрессии Y на Х вычисляются по формулам:

= ,

=

Аналогично вычисляются параметры выборочного уравнения линейной регрессии Х на Y:

= ,

= .

13.1.2.Выборочный коэффициент корреляции.

Для оценки связи между случайными величинами обычно используется выборочный коэффициент корреляции. Сначала дадим определение выборочного эмпирического корреляционного момента (или просто корреляционного момента).

Определение: Выборочным эмпирическим корреляционным моментом называется величина:

= ,

где и – выборочные средние.

Рассмотрим эту формулу. Раскроем скобки и учтем, что

= n , = n .

Тогда получаем:

= ( – ) =

( – n – n + n ) =

= ( – ).

Таким образом получаем компактную и удобную для вычисления формулу:

– .

Определение: Выборочным коэффициентом корреляции называется величина:

= .

Пример: В магазине одежды в течение пяти дней подсчитывали число покупок рубашек Х и курток Y. По данным наблюдений составлена таблица:

	10	20	25	28	30
	4	8	7	12	14

Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х и выборочный коэффициент корреляции.

Решение: Составим таблицу вычислений.

Номер опыта i
1	10	4	100	40	16
2	20	8	400	160	64
3	25	7	625	175	49
4	28	12	784	336	144
5	30	14	900	420	196
	113	45	2809	1131	469

Вычислим параметры выборочного уравнения линейной регрессии Y на Х:

= = 0,447,

= = -1,1.

Получаем уравнение:

=0,447 х – 1,1.

Теперь вычислим составляющие формулы выборочного коэффициента корреляции:

= = 22,8,

= = =93,8,

D(Х) = - = – = 51,04,

D(Y) = - = - = 12,8,

= 7,14,

= 3,58.

Теперь вычисляем выборочный коэффициент корреляции:

= = 0,89.