12.3.Эмпирические моменты

Прежде, чем изложить метод моментов приведем определения эмпирических моментов.

Определение: Эмпирическими моментами порядка k называют среднее значение :

,

где – частота варианты,

– объем выборки,

С – произвольное постоянное число.

Определение: Начальным эмпирическим моментом порядкаk называется эмпирический момент порядка k при С=0:

Начальный эмпирический момент первого порядка равен средней выборочной:

Определение: Центральным эмпирическим моментом порядка k называется эмпирический момент при

.

Центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии:

_.

12.4.Метод моментов.

Теперь рассмотрим метод моментов для точечной оценки параметров распределения.

Пусть известен вид функции плотности распределения вероятностей случайной величины Χ, зависящей от одного неизвестного параметра ⍬.

_{Например,} для показательного распределения _.

Требуется найти точечную оценку параметра ⍬. В случае показательного распределения ⍬ = λ.

Для получения оценки одного параметра можно использовать одно уравнение с одним неизвестным. В методе моментов в качестве такого уравнения предлагается равенство , где – начальный теоретический момент первого порядка; – начальный эмпирический момент первого порядка.

=> = (1)

Математическое ожидание можно рассматривать как функцию параметра ⍬:

(2)

Из формулы (1) можно получить не сам параметр ⍬, а только его оценку, т.к. является реализацией случайной величины . Тогда:

(3)

Решив уравнение (3), найдем оценку , которая является функцией от выборочной средней.

Например, для экспоненциального распределения имеем:

=> , .

Если плотность распределения вероятностей зависит от двух параметров, то ⍬ следует рассматривать как двумерный вектор. Для оценки этих параметров требуется составить не одно, а два уравнения. Такими уравнениями могут быть равенства , или, что более точно, .

Оценка максимального правдоподобия не всегда совпадает с оценкой, найденной методом моментов.

Приведем еще два определения, связанные с понятием момента.

Определение: Асимметрией эмпирического распределения называется отношение центрального эмпирического момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения. Она характеризует асимметричность распределения случайной величины:

Определение: Эксцессом эмпирического распределения называется величина, которая определяет частоту появления значений, удаленных от среднего значения:

.

13.Основы статистического исследования зависимостей.

Исследованием зависимостей занимаются такие разделы математической статистики, как регрессионный анализ и дисперсионный анализ. Рассмотрим эти разделы.

13.1.Регрессионный анализ.

Многие экономические задачи требуют установить и оценить зависимость двух или более двух случайных величин. Эта зависимость может быть функциональной, статистической или совсем отсутствовать.

Отсутствие связи характерно для независимых случайных величин.

Определение: Если каждому значению случайной величины Х соответствует вполне определенное значение случайной величины Y, то говорят, что Х и Y связаны функциональной зависимостью.

Эта зависимость реализуется редко, т.к. обе величины подвержены действию случайных факторов.

Определение: Если каждому значению случайной величины Х соответствует вполне определенный закон распределения случайной величины Y, то говорят, что Х и Y имеет статистическую зависимость.

Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость, когда при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой.

Определение: Если при изменении случайной величины Х меняется функция распределения вероятностей случайной величины Y, то говорят, что Х и Y имеют стохастическую зависимость.

На практике часто используется связь между изменениями одной случайной величины Х и изменениями математического ожидания другой случайной величины Y, т. е. регрессия Y на Х (условное математическое ожидание):

M(Y/X = x) = f(x)

или регрессия Х на Y:

M(X / Y = y) = f(y).

Так как в математической статистике имеют дело не с числовыми характеристиками законов распределения, а с их оценками, то в качестве оценки условного математического ожидания принимается условная средняя.

Определение: Условной средней называется среднее арифметическое наблюдаемых значений Y, соответствующих значению Х = х.

Пример: Если при Х = 2 случайная величина Y принимает значения 3, 6, 12, то условная средняя равна:

= = 7.

Условные средние и являются функциями соответственно от х и y:

= f*(х) (1) ,

= φ*(y) (2).

Уравнение (1) называется выборочным уравнением регрессии Y на X, а уравнение (2) – выборочным уравнением регрессии X на Y.

Графики соответствующих функций f*(x) и φ*(y) называются выборочными линиями регрессии.

Для данного значения Х = х наблюдается рассеяние Y около среднего значения . Мерой этого рассеяния служит условная дисперсия Y при данном значении х, обозначаемая .