11.3.Методика вычисления теоретических частот нормального распределения:

• Весь интервал наблюдаемых значений Х (выборки объема n) делят на S частичных интервалов ( ) одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов по формуле . В качестве частоты варианты принимают число вариант, которые попали в i-й интервал.

• Вычисляют выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение .

• Нормируют случайную величину Х, т.е. переходят к величине и вычисляют концы интервалов :

, ,

причем полагают равным = - (наименьшее значение ),

а (наибольшее значение

• Вычисляют теоретические вероятности попадания Z в интервалы ( по равенству = ( - , где (z) – функция Лапласа.

• Находят искомые теоретические частоты .

11.4.Пример обработки массива статистических данных.

Дано статистическое распределение:

X	537	538	541	542	543	545	546	547	548
ni	1	2	1	1	2	2	1	2	2
X	549	550	552	553	554	555	556	557	558
ni	3	1	2	2	1	1	1	2	1
X	559	560	561	562	563	564	565	566	567
ni	3	5	2	4	2	1	2	2	2
X	569	570	572	573	574	576	577	581	582
ni	1	1	1	1	1	1	1	1	1

∑ = 60

Найдем размах выборки:

R = 582 – 537 = 45.

Переходим к интервальному ряду. Составим 8 или 9 частичных интервалов. Так как задано количество интервалов, то нет смысла применять общую формулу для нахождения длины частичного интервала h, просто поделим размах выборки на предполагаемое количество интервалов:

,

Выберем целочисленное значение длины интервалов h = 5, при этом получится 9 интервалов.

Построим интервальный ряд:

X	[537; 542)	(542;547]	(547; 552]	(552; 557]	(557; 562]
ni	5	7	8	7	15
X	(562; 567]	(567;572]	(572; 577]	(577; 582]
ni	9	3	4	2

Построим гистограмму относительных частот, используя формулу:

Вычислим середины интервалов по формуле

и перейдем от интервального ряда к точечному ряду:

	539,5	544,5	549,5	554,5	559,5	564,5	569,5	574,5	579,5
ni	5	7	8	7	15	9	3	4	2
Wi

Построим полигон относительных частот.

Найдем эмпирическую функцию распределения (x) и построим ее график.

1

0 539,5 544,5 549,5 554,5 559,5 564,5 569,5 574,5 579,5 x

Найдем выборочные характеристики:

;

Дисперсию вычислим по формуле:

.

= 310448,92 -

.

Проверим гипотезу о нормальном распределении по критерию Пирсона : генеральная совокупность распределена нормально.

Альтернативная гипотеза : Генеральная совокупность не распределена нормально.

Составим расчетную таблицу.

				Ф( )	Ф( )		’
537	542	-∞	-1,43	-0,5	-0,4236	0,0764	4,584	0,173	0,038
542	547	-1,43	-0,96	-0,4236	-0,3315	0,0921	5,526	2,173	0,393
547	552	-0,96	-0,48	-0,3315	-0,1844	0,1471	8,826	0,682	0,077
552	557	-0,48	-0,01	-0,1844	-0,004	0,1804	10,824	14,623	1,351
557	562	-0,01	0,47	-0,004	0,1808	0,1848	11,088	15,304	1,38
562	567	0,47	0,94	0,1808	0,3264	0,1456	8,736	0,069	0,008
567	572	0,94	1,42	0,3264	0,4222	0,0958	5,784	7,552	1,314
572	577	1,42	1,89	0,4222	0,4706	0,0484	2,904	1,201	0,414
577	582	1,89	+∞	0,4706	0,5	0,0294	1,764	0,56	0,032
	-	-	-	-	-	1	60	-	5,01

На одном графике с полигоном относительной частоты построим многоугольник распределения по точкам ( , ).

Наблюдаемое значение = 5,01. По таблице критических точек распределения найдем критическое значение , зависящее от уровня значимости критерия α и от k.

Пусть α = 0,05, а k = S – 3 = 9 – 3 = 6, где S – количество интервалов.

(0,05; 6) = 12,6.

<

Вывод: Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Вычислим доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения.

Пусть задана надежность .

По таблице значений функции Лапласа находим t = 1,96.

Для вычисления доверительного интервала используем формулу:

Тогда

557,08 - 2,66 < < 557,08 + 2,66

Итак, получаем доверительный интервал:

(554,41; 559,74).