10.Статистическая проверка гипотез: основные типы гипотез и общая логическая схема статистического критерия; характеристики качества критерия.

Определение: Статической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Определение: Нулевой (основной) гипотезой называют выдвинутую гипотезу . Конкурирующей (алтернативной) называют гипотезу , которая противоречит основной гипотезе.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и альтернативную гипотезу . Если выдвинутая гипотеза отвергается, обычно принимается альтернативную гипотеза.

Пример: Если : M(X) = 10, то альтернативная гипотеза : M(X) 10.

В результате проверки может быть принято правильное или неправильное решение. Различают ошибки двух родов.

Определение: Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Обычно ошибка первого рода влечёт за собой ошибку второго рода. Но на практике возможны и другие ситуации.

Например, если отвергается правильный закон распределения, то происходит ошибка первого рода. Но после этого может быть принято решение уточнить данные, то есть другая гипотеза не принимается.

Если же принимается другое распределение, то совершается ошибка второго рода.

10.1.Общая логическая схема статистического критерия

В целях проверки нулевой гипотезы в рассмотрение вводят специально подобранную случайную величину, распределение которой известно. Её обозначают U или Z, если она распределена нормально, F или _, если она распределена по закону Фишера-Снедекора, T – если по закону Стьюдента, – если по закону хи-квадрат. Для общности её можно обозначить буквой K.

Определение: Случайная величина K, которая служит для проверки нулевой гипотезы, называется статическим критерием.

Для проверки гипотезы сначала по данным выборки вычисляют значения входящих в критерий величин, а затем и сам критерий.

Определение: Вычисленное по выборкам значение критерия называют наблюдаемым значением и обозначают .

Область возможных значений критерия разбивают на две области: в одной находятся те значения, при которых гипотеза принимается, а в другой – те, при которых гипотеза отвергается.

Определение: Критической областью называется область значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

Определение: Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых гипотеза принимается.

Определение: Критическими точками (границами) называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Определение: Правосторонней областью называется область, которая определяется неравенством _. Левосторонней областью называется область, которая определяется неравенством _.

Двусторонние области определяются неравенствами _, где ( _, – критические точки).

Для отыскания правосторонней критической области необходимо найти критическую точку исходя из условия:

P( ) = α,

где α – уровень значимости критерия.

Для отыскания левосторонней критической области необходимо найти критическую точку исходя из условия:

P( ) = α .

Для отыскания двусторонней критической области необходимо найти критические точки исходя из условия:

Р( ) + Р( ) = α. (1)

Ясно, что критические точки могут быть выбраны бесчисленным множеством способов. Если же распределение критерия симметрично относительно нуля, и имеются основания выбрать симметричные относительно нуля точки , и ( ), то Р( ) = Р( ).

Учитывая формулу (1), получим Р( ) = .

Это соотношение и служит для отыскания критических точек двусторонней критической области.

Для каждого критерия, т. е. соответствующего распределения, обычно составлены таблицы, по которым находят K_кр..

После того, как критическая точка найдена, по данным выборки вычисляют наблюдаемое значение критерия.

Если , то гипотезу отвергают, если наоборот, то принимают.