34. Модели систем массового обслуживания.
Базовыми составляющими, определяющими математическую модель СМО, являются описания входного потока требований и обрабатывающих их серверов. В общем случае, требование, поступившее в систему и заставшее все серверы занятыми, помещается в специальный накопитель — очередь. Размер этого накопителя, определяющий максимально возможную длину очереди, может быть различным. В предельных случаях он может быть равным бесконечности, тогда все поступающие требования принимаются системой, или равным нулю, тогда все требования, поступившие при занятых серверах, будут отброшены системой, или, как принято говорить, заблокированы. В промежуточном случае, при конечной максимальной длине очереди, часть требований, заставших все серверы занятыми, будут помещены в свободное пространство накопителя, и только если накопитель окажется полным, требования окажутся заблокированными.
Схематично структуру СМО можно отобразить каскадным соединением накопителя и пула серверов (рис. 3.1).
На вход накопителя поступает входной поток требований, математическая модель которого задается. Каждой модели входного потока принято ставить в соответствие условное обозначение. Например, для пуассоновского потока такое обозначение состоит из единственной буквы М, в честь математика Маркова, который построил исчерпывающую теорию случайных процессов и систем с памятью. Пуассоновский поток является простейшим случаем марковских процессов.
Серверы рассматриваемой СМО должны быть описаны с помощью задания распределения вероятности длины интервала времени, расходуемого на обслуживание одного требования. Таким образом, математическая модель сервера — это случайная величина, определяющая время обработки требования (события). В зависимости от функции распределения вероятности серверы классифицируются наподобие входным процессам и получают такие же символические обозначения. Например, сервер с экспоненциальной плотностью вероятности для времени обслуживания будет обозначаться также буквой М, отмечая марковский характер потока освобождений сервера. Количество серверов в системе играет принципиальную роль и отмечается целым числом. Тройку основных условных обозначений (тип входного потока, время обслуживания в сервере, число серверов) объединяют в одно условное обозначение типа системы массового обслуживания через слэш (slash). Например, М/М/1. Такое обозначение СМО говорит о том, что входной поток системы— марковский (пуассоновский), время обслуживания в сервере имеет экспоненциальное распределение и в системе один такой сервер. Условное обозначение, которое здесь приведено, было впервые предложено Кендалом и может кроме указанных трех основных обозначений содержать дополнительные. Эти дополнительные символы указываются после трех основных через двоеточие и могут обозначать особенности системы: a/b/c:d/e/f.
Используется трех -, четырех -, шести – компонентное символическое обозначение системы массового обслуживания, предложенное Кендаллом (Candall) и развитое в работах Г.П.Барашина.
a/b/c :d/e/f
a – распределение поступающего потока запросов.
b – закон распределения времени обслуживания.
Типовые условные обозначения:
М – экспоненциальное (Марковское) распределение,
D – детерминированное распределение,
Ek – эрланговское распределение k-го порядка,
HMk – гиперэкспоненциальное,
HEk – гиперэрланговское распределение порядка k,
GI – произвольное распределение независимых промежутков между заявками,
G – произвольное распределение длительностей обслуживания.
c – структура системы обслуживания (обычно число серверов).
d – дисциплина обслуживания (параметры после двоеточия иногда опускают).
Обычно используется сокращенное символическое обозначение, например FF вместо FIFO, LF, PR и т.п.
e – максимальное число запросов, воспринимаемое системой, может употребляться символ .
f – максимальное число запросов к системе обслуживания.
В некоторых публикациях последними символами отражают качественные характеристики системы обслуживания. Некоторые общие результаты и основы математического аппарата, необходимого для анализа можно получить, рассматривая системы G/G/m.