27. Понятие фрактала. Основное свойство фракталов. Виды фракталов.

Для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб длины l_min, такой, что на расстояниях l ≈ l_min, его основное свойство – самоподобие – пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин l > l_mах, где l_mах – характерный геометрический размер объектов, свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах l, удовлетворяющих соотношению l_min<< l << l_mах , в так называемой, промежуточной асимптотике.

Как всякое фундаменталь­ное по­нятие, фрактал не имеют определения и, следовательно, должен опреде­лятся спи­ском свойств.

Тем не менее, существует как минимум три определения фракталов, без­ус­ловно, не являющихся полными, каждое из которых обращает внима­ние на не­кую существенную особенность этих объектов:

1.фрактал – это объект, в каком-то смысле подобный самому себе;

2. фрактал – это объект, размерность которого строго больше его топологи­че­ской размерности;

3. фрактал – это объект, содержащий в себе "дыры" всех размеров, что фак­ти­чески сводится к констатации его самоподобия на разных масшта­бах.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Можно неограниченное количество раз увеличивать ту или иную фигуру, и каждая ее часть будет содержать в себе информацию о всем фрактале.

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.

Примерами таких кривых служат:

кривая дракона;

кривая Коха;

кривая Леви;

кривая Минковского;

кривая Пеано.

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

множество Кантора;

треугольник Серпиньского;

коврик Серпиньского;

кладбище Серпиньского;

губка Менгера;

дерево Пифагора.

Примеры алгебраических фракталов:

множество Мандельброта;

множество Жюлиа;

бассейны Ньютона;

биоморфы.

28. Нормированное фрактальное броуновское движение с параметром Херста.

29. Фрактальный гауссовский шум.

30. Генерирование потока событий с равномерным распределением интервала между событиями.

31. Генерирование потока событий, распределенных по закону, отличному от равномерного.

32. Модели потоков событий. Метод удачного случайного приращения.

33. Модели потоков событий. Метод случайного смещения промежуточных точек

В отличие от материала, изложенного выше, моделирование процессов фрак­тального характера еще не стало хорошо изученным предметом и находится в стадии развития. Многие алгоритмы моделирования, опубликованные в последнее время, постоянно совершенствуются. Мы предлагаем здесь несколько базовых подходов, которые представляются нам подходящими для реализации.

Рассмотрим получение последовательности чисел, представляющих случайную реализацию фрактального броуновского движения или фрактального гауссовского шума с заданными параметрами.

Существуют два относительно простых пути генерирования случайной реализации fBM. Это методы, называемые удачным случайным приращением (Successful Random Addition, SRA) и случайным смещением промежуточных точек (Random Midpoint Displacement, RMD). Они обеспечивают весьма точное соответствие сгенерированной последовательности фрактальному броуновскому движению с заданными свойствами. Для получения fGN из fBM достаточно, согласно определению, продифференцировать последний.

Основную идею обоих алгоритмов можно представить с помощью рис. 2.14.

Интерполирование промежуточных точек по двум соседним в данном алгоритме использовано для создания коррелированных нормально распределенных приращений процесса. Добавляя же смещения ко всем точкам реализации, получаем самоподобную нормально распределенную последовательность. Итоговые значения последовательности получаются в результате линейной комбинации нормально распределенных величии. Следовательно, по свойству гауссового распределения результирующие значения также будут распределены нормально.

Пошаговый алгоритм RMD конструирования реализации fBM {X,} на временном интервале (0, 1) с заданной дисперсией σ₀² и параметром Херста H выглядит следующим образом:

5/