Полюса и нули передаточной функции

Согласно выражению (3) передаточная функция ЛНСС имеет вид рациональной функции, т.е. отношения двух полиномов от s. В соответствии с теоремой о разложении многочлена каждый многочлен степени n может быть единственным образом представлен (факторизован) в виде произведения постоянной и n линейных множителей

,

где s_k – корни многочлена, корню s_k кратности m_k соответствует m_k множителей (s-s_k).

При этом для многочленов с действительными коэффициентами комплексные корни обязательно встречаются как комплексно - сопряженные пары. Иначе соответствующие коэффициенты многочлена не будут действительными. Очевидно, что каждая такая пара множителей перемножением может быть объединена в действительный квадратичный множитель . Таким образом, рациональная передаточная функция системы с действительными коэффициентами может быть представлена в виде

. (6)

Здесь - корни многочлена – числителя, они называются нулями H(s),

- корни многочлена – знаменателя называются полюсами H(s), - усиление системы (gain). В точке полюса . При этом каждая пара множителей с комплексно-сопряженными корнями можем быть объединена в один квадратичный член.

Пример. Система второго порядка с передаточной функцией . Нули и полюса:

График передаточной функции.

Код: [x,y]=meshgrid(-2:0.01:1, -2:0.01:2); s=x+y*j;

H=(s+0)./((s+1).^2+1);

mesh(x,y,abs(H))

Передаточные функции соединений систем

Последовательное соединение систем:

Передаточная функция

Параллельное соединение систем:

Передаточная функция

Таким образом, ПФ последовательного соединения систем равна произведению, параллельного соединения – сумме передаточных функций отдельных систем.

Y₁(s)

Y(s)

Передаточная функция системы с замкнутой отрицательной обратной связью (ООС)

Отсюда

,

т.е. передаточная функция системы с ООС равна отношению передаточной функции канала прямой передачи H₁(s) к (1 - петлевое усиление цепи обратной связи). В данной схеме петлевое усиление цепи обратной связи есть .

При - зависит только от обратной связи.

Аналогичный вид имеют выражения для частотных характеристик систем, поскольку .

Поэтому передаточную функцию реальной системы можно представить в виде каскадного (последовательного) соединения систем первого и/или второго порядка с вещественными коэффициентами, т.е. в виде ,

где H_i(s) – передаточная функция системы второго или первого порядка

.

Для системы первого порядка .

Если , то из выражения (6) для ПФ системы получаем её частотную характеристику .

Следовательно, АЧХ равна произведению/отношению длин векторов, каждый из которых равен разности значения частоты и нуля/полюса.

Фазо - частотная характеристика

равна сумме углов нулей системы минус сумма углов полюсов. Углы отсчитываются от действительной оси плоскости s.

Пример 2. Иллюстрация зависимости поведения АЧХ системы от количества и расположения полюсов

Из этого примера очевидно, что увеличение числа полюсов приводит к более крутому спаду АЧХ системы, т.е. к улучшению поведения фильтра (системы). Поэтому выбор числа и положения полюсов – основной способ получения фильтра с необходимой АЧХ.

w=0:0.1:20; % частотная шкала

% Система 1-го порядка с одним полюсом

p=-1;

H1=1./(j*w-p);

% Система 2-го порядка с двумя полюсами

p1=-0.707+j*0.707;

p2=-0.707-j*0.707;

H2=1./(j*w-p1)./(j*w-p2);

% Система 3-го порядка с тремя полюсами

p31=-0.5+j*0.866;

p32=-0.5-j*0.866;

p33=-1;

H3=1./(j*w-p31)./(j*w-p32)./(j*w-p33);

% Система 4-го порядка с четырьмя полюсами

p41=-0.383+j*0.924;

p42=-0.383-j*0.924;

p43=-0.924+j*0.383;

p44=-0.924-j*0.383

H4=1./(j*w-p41)./(j*w-p42)./(j*w-p43)./(j*w-p44);

plot(w, abs(H1),'--',w,abs(H2), w, abs(H3),'.-',w,abs(H4))

legend('abs(H1)','abs(H2)','abs(H3)', 'abs(H4)' )

xlabel('Frequency rad/sec')