7. Теорема Парсеваля

- энергия дискретного по времени сигнала равна сумме энергий отдельных частотных составляющих и не зависит от фаз дискретных гармоник.

Величина называется спектром мощности дискретного сигнала. Его часто выражают в логарифмическом масштабе в дБ: .

Доказательство: рассмотрим две последовательности x[n] и y[n] с их ДПФ . Запишем ОДПФ для x[n] и комплексно – сопряженное выражение для y[n]: .

Составим сумму почленных произведений

Если положить в полученном выражении y[n]=x[n], то , и получим окончательно .

Имеется еще несколько свойств ДПФ, которые здесь не рассматриваются.

ДПФ – исключительно важное и широко используемое на практике преобразование. Оно является основой спектрального анализа, позволяющего измерять частотные спектры разнообразных сигналов и процессов. ДПФ широко используется в системах передачи данных и связи, распознавания речи, в обработке изображений, в алгоритмах сжатия данных, в радиолокационных системах для измерения скорости цели, в процедурах проектирования фильтров, в обработке медицинских сигналов и данных и многих, многих других областях.

Практическое использование ДПФ резко расширилось после появления в 1965г. алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ). БПФ фактически совершило революцию в цифровой обработке сигналов. Подробно БПФ рассматривается в следующей лекции.

Краткое заключение по рядам и преобразованиям Фурье

В лекциях 4-8 курса рассматривались ряды и преобразования Фурье, являющиеся теоретической основой спектрального (частотного) анализа сигналов и частотных методов анализа и синтеза линейных систем. Ниже в таблице в справочной форме представлены краткие итоги изложенного материала.

Вид преобразования	Сигнал во временной области	Сигнал в частотной области	Свойство свертки
Преобразование Фурье НВПФ (CTFT)	непрерывный	непрерывный
Ряд Фурье НВРФ (CTFS)	непрерывный периодический (T)	дискретный
Дискретное преобразование Фурье ДПФ (DFT)	дискретный периодический (N)	дискретный периодический (N)

Заключение

• Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ), как алгоритм (способ) численного вычисления классического преобразования Фурье, имеет вид ,

.

Нотация: .

Связь НВПФ и ДПФ: .

• Эти преобразования исключительно широко используются на практике: в задачах спектрального анализа, передачи данных и связи, распознавания и синтеза речи, в обработке изображений, в алгоритмах сжатия данных, в радиолокационных системах, в разнообразной обработке медицинских сигналов и данных и многих других областях. При этом используется масштабирование шкалы частот, основанное на выражении .

• ДПФ имеет ряд свойств, основные из которых: - линейности,

- комплексной сопряженности, - временного сдвига, - временного масштабирования,

- свертки.

• В отличие от непрерывного преобразования Фурье и прямое и обратное ДПФ являются периодическими, т.е. , где N - размер ДПФ. Эта особенность должна обязательно учитываться при обработке сигналов с использованием ДПФ.

9