Определение и примеры вычисления дискретного преобразования Фурье

Преобразование Фурье непрерывного сигнала x(t) (лекции 6,7 курса)

ставит в соответствие сигналу x(t) его спектральную плотность X(jω), т.е. .

Спектральная плотность X(jω) характеризует частотную структуру сигнала x(t). Но вычислить X(jω) аналитически можно только для простых сигналов (функций), например, прямоугольных, экспоненциальных, треугольных, их комбинаций и некоторых других сигналов с простой формой. На практике для вычисления преобразования Фурье приходится применять, главным образом, численные методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ).

Выражение прямого ДПФ (DFT) для последовательности x[n] (сигнала) из N отсчетов (чисел)

.

Получим это выражение из классического преобразования Фурье.

Пусть из непрерывного по времени сигнала x(t) конечной длительности берутся отсчеты с интервалом T_S. Сигнал равен нулю за пределами интервала [0, (N-1)T_S], при этом N – число отсчетов, T_SN – продолжительность (длина) сигнала. Преобразование Фурье (НВПФ) такого сигнала можно представить приближенно в виде интегральной суммы

.

Приближенные значения НВПФ на частотах ,

(1)

Следовательно, НВПФ сигнала на частотах

приближенно равно ДПФ, умноженному на значение интервала отсчетов Т_S, т.е. . Такая аппроксимация (приближение) тем точнее, чем меньше интервал отсчетов T_S, в пределах которого сигнал не должен существенно измениться.

Преобразование

называется N – точечным дискретным преобразованием Фурье (ДПФ, англ. discrete Fourier transform, DFT) или просто ДПФ последовательности (сигнала) x[n], n - номер отсчета. Здесь k – индекс значения ДПФ в частотной области (индекс частоты). С использованием для комплексной экспоненты обозначения его можно записать более компактно в виде

. (2)

Нотация: ,или , или , N – длина (размер) ДПФ.

Обратное (инверсное) дискретное преобразование Фурье (ОДПФ, англ. IDFT) определяется выражением

. (3)

Нотация или .

Выражения (2) и (3) являются парными относительно преобразования. Подстановка X_N[k] из (2) в (3) дает снова сигнал x[n]. Это можно строго доказать.

Определение дискретно – временного преобразования Фурье

Преобразование Фурье непрерывного сигнала x(t)

ставит в соответствие функции x(t) её спектральную плотность X(jω). Для сигналов дискретного аргумента x(nΔt)=x[n], Δt = 1/F_S преобразование Фурье имеет некоторые особенности и свойства, обусловленные дискретизацией. Эту разновидность называют дискретно – временным преобразованием Фурье (ДВПФ).

Для его получения представим интеграл в виде приближения - интегральной суммы

.

Здесь имеет смысл интервала отсчетов.

Для .

Правая часть получившегося выражения и есть дискретно – временное преобразование Фурье (англ. Discrete Time Fourier Transform, DTFT) дискретного сигнала , которое определяется следующим образом

– прямое ДВПФ, выражение анализа.

Оно имеет для дискретных сигналов x[n] тот же смысл, что обычное прямое преобразование Фурье для непрерывных сигналов x(t). Нотация .

Если сравнить выражение (2) с полученным в лекции 5 выражением коэффициента ДВРФ

, (4)

то получим, что , т.е. X_N[k] и с_k отличаются только константой - множителем N.

ДПФ X_N[k] в общем случае – комплексное выражение, имеющее действительную и мнимую часть, т.к. . Его можно представить в алгебраической или показательной (экспоненциальной) форме :

При этом - ДПФ - амплитудный спектр сигнала x[n],

- ДПФ - фазовый спектр x[n].

Пример 1. Найдем ДПФ единичного импульса. По сравнению с теоретическим определением единичного импульса здесь предполагаем последовательность конечной длины N

ДПФ такого сигнала , - равно константе 1.

Пример 2. Найдем ДПФ сигнала для длин N = 5 и N = 7. а) N = 5

Для k от от 0 до 4 получим

Для к

|X₅[k]|

Амплитудный спектр Фазовый спектр

X₇[k]

Пример 3. Определим ДПФ сигнала показательного сигнала

(функция aⁿ - собственная функция ЛДС)

.

По формуле суммы конечной геометрической прогрессии

получаем для

. Графики сигнала и спектров для N=16, a=0,9:

Сигнал Амплитудный спектр Фазовый спектр

Другие примеры вычисления ДПФ см. в файле «Задачи_4» методических материалов по курсу.

Обучающие и демонстрационные материалы по ДПФ в Интернет:

http://www.fourier-series.com/fourierseries2/DFT_tutorial.html

Демонстрация MATLAB: Demos|Toolboxes|Signal Processing|Transforms|Discrete Fourier Transform