1.4.2. Числовые характеристики

Числовые характеристики, а именно моменты отдельных составляющих вектора ζ определяются через маргинальные (частные) распределения точно так же, как для одномерной (скалярной) дискретной случайной величины:

начальные моменты k-го порядка

, ,

в частности, математические ожидания

, ;

центральные моменты k-го порядка

,

,

в частности, дисперсии

,

.

Для составляющих случайного вектора определены смешанные моменты:

начальные моменты порядка k, r

;

центральные моменты порядка k, r

.

Особое значение для дальнейшего имеет центральный смешанный момент порядка (1, 1), который называется корреляционным моментом или ковариацией:

.

Для того чтобы установить соотношение между центральным и начальным смешанными моментами раскроем скобки в последнем выражении и выполним несложные преобразования:

.

Окончательно получим .

Если  и  независимы, то

.

Но, как было установлено в разд. 1.3.3, и , поэтому центральный смешанный момент независимых случайных величин равен нулю. Однако из того, что = 0, независимость случайных величин  и , вообще говоря, не следует. О случайных величинах, корреляционный момент которых равен нулю, говорят, что они не коррелированы. Для оценки степени коррелированности случайных величин в приложениях удобнее использовать безразмерный коэффициент корреляции . Его значение не зависит от масштаба, в котором выражены значения случайных величин:

.

С целью определения диапазона значений коэффициента корреляции рассмотрим крайний случай взаимно однозначной зависимости между  и , а именно допустим, что  = a + b. Другой крайний случай, а именно независимость  и , рассмотрен ранее в настоящем разделе.

Из предположенной линейной зависимости следует (см. также разд. 1.3.4):

, ,

.

После простых преобразований получим

,

.

Таким образом мы установили, что коэффициент корреляции не превышает единицу по абсолютной величине: .

Математическое ожидание случайного вектора – вектор, составляющие (компоненты) которого суть математические ожидания соответствующих компонент:

.

Дисперсии компонент случайного вектора ζ и их ковариации объединяют в ковариационную матрицу следующим образом:

.

В теории вероятностей часто используется корреляционная матрица, которая получается из ковариационной матрицы путем деления ее элементов на произведение среднеквадратических значений:

.

Эти матрицы симметричны и неотрицательно определены. Если компоненты случайного вектора независимы или хотя бы не коррелированы, матрицы и диагональны.

Математическое определение ковариационной матрицы:

,

где Т – символ транспонирования.

Раскроем это выражение.

.

Математическое ожидание случайной матрицы есть матрица, элементы которой суть математические ожидания:

=

,

с чем мы уже ознакомились в настоящем разделе.

1.4.3. Линейное преобразование случайного вектора. Числовые характеристики

Общий вид линейного преобразования случайного вектора есть умножение его на матрицу и добавление произвольного неслучайного вектора:

.

Раскроем это преобразование:

.

Вычислим вначале математическое ожидание от первой составляющей первого из векторов:

.

Точно так же

.

Поэтому

.

В соответствии с математическим определением ковариационной матрицы

.

Таким образом, если случайный вектор ζ претерпевает преобразование , то математическое ожидание и ковариационная матрица результата такого преобразования вычисляются по формулам

, .

Мы снова убеждаемся в том, что ковариационная матрица не зависит от смещения, которое задается вектором b.

Рассмотрим в качестве примера важный частный случай. Пусть матрица A имеет вид , а вектор . Тогда  – скаляр ( = ), и ковариационная матрица также вырождается в скаляр, а именно в дисперсию, которую будем обозначать Най­дем математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь полученными формулами.

,

.

Перемножив эти два вектора, окончательно получим

Частные случаи:

случайные величины  и  независимы или хотя бы не коррелированы, тогда ;

коэффициенты a = b = 1, то есть случайная величина  есть сумма двух не коррелированных случайных величин  и  , тогда , то есть дисперсия суммы не коррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.