1.3.6. Теорема Пуассона

Проанализируем асимптотическое поведение вероятности появления m событий в схеме Бернулли при n  , np = const = . Цель – упрощение вычислений, трудоемкость которых сильно возрастает с ростом n.

Задача состоит в нахождении предела последовательности:

.

Из равенства np =  следует, что p = . Кроме того,

.

В полученном выражении первый сомножитель не содержит n. Предел последнего сомножителя при n   равен . Пределы остальных сомножителей при n   равны 1. В результате получаем асимтотическое представление вероятностей из схемы Бернулли, или, что то же самое, биномиального распределения, в виде

.

Этот результат получен Пуассоном и успешно применяется для расчета вероятностей редких событий (при n   вероятность p стремится к 0) при массовых явлениях (испытаниях, опытах).

Полученные предельные значения вероятностей образуют в совокупности распределение вероятностей случайной величины. В самом деле,

.

Это распределение называется распределением Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины равны

M[m] = D[m] =  = np.

Производящая функция распределения Пуассона:

.

1.3.7. Локальная теорема Муавра-Лапласа

В отличие от теоремы Пуассона теорема Муавра-Лапласа посвящена установлению асимптотики для вероятностей событий по схеме Бернулли при n   и при p = const.

Здесь без вывода и доказательства приводится результат, полученный Муавром и Лапласом.

Напомним, что в разд. 1.3.5 были получены следующие выражения для математического ожидания и дисперсии случайной величины: числа появления события A при n испытаниях по схеме Бернулли

M[m] = np, D[m] = npq = np(1-p),

где p – вероятность появления события A при одном испытании.

В соответствии с локальной теоремой Муавра-Лапласа значения вероятностей при n   и p = const аппроксимируются функцией

.

Эта функция симметрична и имеет максимум при m = np.

1.4. Двумерные дискретные случайные величины

1.4.1. Распределение вероятностей

Будем рассматривать двумерную случайную величину как двумерный случайный вектор

.

Компонентами вектора ζ являются дискретные случайные величины  и , которые могут принимать значения и соответственно. Реализации вектора ζ будем обозначать вектором z.

При каждом испытании компоненты вектора ζ могут принимать значения с вероятностью совместного осуществления двух событий . В дальнейшем будем пользоваться упрощенными обозначениями этой вероятности в виде или .

Кроме того, заметим, что события образуют полную группу попарно несовместных событий. То же самое можно утверждать и о событиях .

Представим совместное распределение вероятностей в виде таблицы 1.

События , , ..., не пересекаются, а их объединение есть не что иное, как событие . Поэтому, суммируя элементы этой таблицы по строкам, в соответствии с аксиомой аддитивности (см. разд. 1.2.2) получим значения вероятностей . По этой же причине суммирование элементов таблицы по столбцам даст значения вероятностей .

Таблица 1

Совместное рaспределение вероятностей дискретного случайного вектора

 			. . .		. . .		Маргинальное распределение случайной величины 
			. . .		. . .
			. . .		. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
			. . .		. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
			. . .		. . .

Тот же результат мы получим, если определим условные вероятности

,

и поскольку события и образуют полные группы попарно несовместных событий, применим формулу полной вероятности

,

.

Сумма всех вероятностей .

Мы получили маргинальные (частные) распределения случайных компонент  и  (см. также разд. 1.3.1):

; .

Признак независимости случайных компонент вектора ζ: случайные компоненты  и  вектора ζ независимы тогда и только тогда, когда их совместное распределение вероятностей может быть представлено как произведение маргинальных (частных) распределений (см. также разд. 1.2.3): .