2.7.5. Проверка сложной гипотезы о числовых характеристиках случайных величин с применением доверительных интервалов, построенных методом бутстреп

Как следует из разд. 2.4.7, построение доверительных интервалов для любых числовых характеристик случайных величин и параметров плотности распределений при заданной доверительной вероятности Q методом бутстреп не зависит от вида плотности распределения. Однако этот метод не позволяет раздельно назначать нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала по заданным значениям вероятностей ошибок первого и второго рода  и , как в разд. 2.7.3, 2.7.4 и в 2.7.2, “а”). Поэтому здесь могут быть гарантированы только равные вероятности этих ошибок  = , как в разд. 2.7.2, “б”).

Пусть на вещественной оси задан некоторый интервал J, может быть полубесконечный. Применим для обозначения числовой характеристики или параметра плотности распределения генеральной совокупности X общий символ .

Пусть из генеральной совокупности X извлечена выборка объема . Задача состоит в проверке гипотезы

: против альтернативы : .

Сформулированная гипотеза проверяется по той же схеме, которая представлена в разд. 2.7.2. – 2.7.4.

Задаются равные вероятности ошибок первого и второго рода  = . По имеющейся выборке методом бутстреп (разд. 2.4.7) для доверительной вероятности Q = 1 –  строится доверительный интервал .

Если этот доверительный интервал целиком попадает в зону, соответствующую нулевой гипотезе, то есть если  J, принимается решение о справедливости гипотезы . Вероятность ошибочности этого решения, как и в разд. 2.7.2, “б”), не превышает .

Напротив, если доверительный интервал целиком попадает в зону, соответствующую альтернативной гипотезе, то есть если  , то принимается решение об отклонении гипотезы . Вероятность ошибочности этого решения, как и в разд. 2.7.2, “б”), также не превышает .

Если не реализуется ни та, ни другая ситуация, принимается решение о наращивании объема выборки путем выполнения дополнительных экспериментов, если этому нет препятствий экономического, технического или иного характера.

После того как объем выборки увеличился, описанная процедура повторяется. Процедура останавливается в результате принятия решения о справедливости той или иной гипотезы или при невозможности или нецелесообразности ее продолжения (см. также разд. 2.7.2 – 2.7.4).

2.7.6. Проверка гипотезы о вероятности методом статистического последовательного анализа

Описывается некоторое событие А, которое может произойти или не произойти в результате повторных независимых испытаний (эксперимен­тов). Примером такого события может служить попадание выборочного значения в интервал с заданными границами , как это было в разд. 2.7.4. Проверяется гипотеза о вероятности события А:

: против альтернативы : .

В процессе испытаний после каждого из них ведется подсчет количества k случаев, когда, например, событие A не произошло, и это количество сравнивается со значениями, которые лежат на двух прямых линиях:

,

,

где  и  – вероятности ошибочных решений первого и второго рода соответственно, которые обеспечиваются, если каждая из них не превышает 0,15.

Пример таких прямых приведен на рис. 42. Они параллельны. Часть плоскости, лежащая над верхней прямой, – зона отклонения нулевой гипотезы. Часть плоскости, лежащая под нижней прямой, – зона принятия нулевой гипотезы. Зона между ними называется зоной безразличия. Ее ширина определяется вероятностями  и , а также разностью между вероятностями . Для того, чтобы применить последовательный анализ к проверке сложной гипотезы об интерквантильном промежутке, описанной в разд. 2.7.5, ее нужно преобразовать к проверке простой гипотезы. В качестве следует принять и взять .

Процесс последовательной проверки сформулированной гипотезы отображается на координатной плоскости (см. рис. 42) ступенчатой траекторией точки с координатами (n, k), где n – номер очередного испытания (эксперимента), k – суммарное количество случаев неосуществления события A. Испытания продолжаются до тех пор, пока эта траектория не выйдет в зону той или иной гипотезы.

А. Вальдом [8] доказано, что при неограниченном количестве испытаний процесс заканчивается с вероятностью 1. Однако на практике количество испытаний ограничено по экономическим, техническим и иным причинам. Поэтому при выходе на ограничение приходится принимать то или иное решение в зависимости от того, какого рода риск (первого или второго) более оправдан.

Преимущество статистического последовательного анализа перед подходом, изложенным в разд. 2.7.4, состоит в том, что здесь гипотеза проверяется при каждом новом результате непосредственно в процессе испытаний, и за счет этого общая трудоемкость в среднем по множеству подобных процессов уменьшается.