2.7.4. Проверка сложной гипотезы об интерквантильном промежутке
Непрерывная
случайная величина
образует
генеральную совокупность
X, на
которой определены вероятностная мера
и плотность распределения
.
Вид плотности распределения произвольный.
Из генеральной совокупности извлечена
выборка
объема
.
Заданы
допускаемые пределы
,
внутри которых должен находиться
генеральный интерквантильный промежуток
,
содержащий не менее
значений этой генеральной совокупности.
Это означает, что в силу монотонности
вероятностная мера интервала
,
которая определена на генеральной
совокупности X,
не должна быть меньше, чем
,
поскольку предполагаемый интерквантильный
промежуток вложен в этот интервал.
Поэтому гипотеза об интерквантильном
промежутке
:
против альтернативы
:
эквивалентна гипотезе
:
против альтернативы
:
,
то есть гипотезе о вероятности
: p против альтернативы : p < .
Заданы вероятности ошибок первого и второго рода и .
Гипотезы такого рода проверяются при испытаниях продукции, на характеристики которых установлены пределы допускаемых отклонений от номинальных значений, объявленных на этикетках, в документах или в рекламе.
Естественной статистикой для проверки этой гипотезы является оценка вероятности в соответствии с ее частотным определением:
,
где
– количество выборочных значений,
попавших в интервал
,
n
– объем выборки.
Излагаемый метод проверки сформулированной гипотезы относится к distribution-free методам, то есть к методам, которые в отличие от предыдущих, пригодных только при нормальном распределении, не зависят от вида плотности распределения.
Будем использовать подход, который применялся в предыдущих пунктах. Для этого необходимо определить границы доверительного интервала для вероятности. В соответствии с разд. 2.4.2 и заданными вероятностями ошибочных решений и границы доверительного интервала для вероятности определяются из уравнений:
нижняя граница
;
верхняя граница
.
На
рис. 41 показаны варианты расположения
доверительного интервала для вероятности
относительно зон, соответствующих
гипотезам
и
.
В соответствии с формулировкой гипотезы
и в связи с тем, что
,
положение верхней границы доверительного
интервала в зоне, соответствующей
гипотезе
,
безразлично. По указанным причинам для
этого варианта строится доверительный
интервал, верхняя граница которого
равна 1, а нижняя граница определяется
заданной вероятностью
ошибки второго рода:
.
Таким образом, решение о справедливости гипотезы принимается, когда нижняя граница доверительного интервала для вероятности оказывается больше заданного значения , то есть когда
.
В
данной ситуации вероятность того, что
истинное значение вероятности находится
в зоне, соответствующей гипотезе
,
не превышает ,
поскольку в данной ситуации
,
значит, в силу монотонности вероятностной
меры
.
Из этого следует, что вероятность ошибки второго рода .
В
соответствии с формулировкой гипотезы
и поскольку
положение нижней границы доверительного
интервала в зоне, соответствующей
гипотезе
,
безразлично. В связи с этим здесь строится
доверительный интервал, нижняя граница
которого равна 0, а верхняя граница
определяется заданной вероятностью
ошибки первого рода:
.
Решение об отклонении нулевой гипотезы принимается, когда верхняя граница доверительного интервала для вероятности меньше заданного значения , то есть когда
<
.
Вероятность
ошибки в этом решении не превышает
заданного значения ,
поскольку в данной ситуации
;
значит, в силу монотонности вероятностной
меры
.
Из этого следует, что вероятность ошибки первого рода .
В третьем варианте, показанном на рис. 41, в), не имеется достаточных оснований для принятия никакого иного решения, кроме решения продолжить испытания с целью увеличения объема выборки. Надежда здесь возлагается на то, что с увеличением объема выборки ширина доверительного интервала уменьшается.
После
увеличения объема выборки до
снова строятся доверительные интервалы
при тех же заданных значениях вероятностей
и ,
и на втором этапе вновь возможны три
варианта расположения нового, более
узкого доверительного интервала
относительно значения
.
Все описанные рассуждения и действия
повторяются.
В конечном итоге описанная последовательная процедура проверки сложной гипотезы о вероятности должна завершиться выходом доверительного интервала целиком в одну из зон и принятием соответствующей гипотезы. Когда по экономическим, техническим и иным причинам дальнейшее продолжение испытаний (экспериментов) оказывается невозможным, придется принимать произвольное (так называемое волевое) решение об отклонении той или иной гипотезы в зависимости от того, какого рода риск (первого или второго) более оправдан.
Удобным для практического применения может быть иной метод проверки сложной гипотезы о вероятности, а именно, метод статистического последовательного анализа А. Вальда [8,9], которому посвящен отдельный раздел 2.7.6.