2.7.3. Проверка сложной гипотезы о дисперсии
Плотность
распределения генеральной совокупности
X
нормальна, дисперсия
неизвестна. Из генеральной совокупности
извлечена выборка
объема
.
Проверяется сложная гипотеза:
: d против альтернативы : > d.
Заданы вероятности ошибок первого и второго рода и .
Естественной статистикой для проверки гипотезы о дисперсии является ее несмещенная оценка:
.
Доверительный интервал для дисперсии определен в разд. 2.4.5 следующим образом:
.
На
рис. 40 показаны варианты расположения
доверительного интервала для дисперсии
относительно зон, соответствующих
гипотезам
и
.
В соответствии с формулировкой гипотезы
и в связи с тем, что
,
положение нижней границы доверительного
интервала в зоне, соответствующей
гипотезе
,
безразлично. По указанным причинам для
этого варианта строится доверительный
интервал, нижняя граница которого равна
0, а верхняя граница определяется заданной
вероятностью
ошибки второго рода:
где
–
-процентная
квантиль плотности распределения
хи-квадрат.
Таким образом, решение о принятии гипотезы принимается, когда верхняя граница доверительного интервала для дисперсии оказывается меньше заданного значения d, то есть когда
.
В данной ситуации вероятность того, что истинное значение дисперсии находится в зоне, соответствующей гипотезе , не превышает , поскольку в данной ситуации
,
значит, в силу монотонности вероятностной меры
.
Из этого следует, что вероятность ошибки второго рода .
В соответствии с формулировкой гипотезы положение верхней границы доверительного интервала в зоне, соответствующей гипотезе , безразлично. В связи с этим здесь строится доверительный интервал, верхняя граница которого равна , а нижняя граница определяется заданной вероятностью ошибки первого рода:
где
–
-процентная
квантиль плотности распределения
хи-квадрат.
Решение об отклонении нулевой гипотезы принимается, когда нижняя граница доверительного интервала для дисперсии превышает заданное значение d, то есть когда
.
Вероятность ошибки в этом решении не превышает заданного значения , поскольку в данной ситуации
,
значит, в силу монотонности вероятностной меры
.
Из этого следует, что вероятность ошибки первого рода .
В третьем варианте, показанном на рис. 40, в), не имеется достаточных оснований для принятия никакого иного решения, кроме решения продолжить испытания с целью увеличения объема выборки. Надежда здесь возлагается на то, что с увеличением объема выборки ширина доверительного интервала уменьшается.
После увеличения объема выборки до снова строится доверительный интервал при тех же заданных значениях вероятностей и , и на втором этапе вновь возможны три варианта расположения нового, более узкого доверительного интервала относительно значения d. Все описанные рассуждения и действия повторяются.
В конечном итоге описанная последовательная процедура проверки сложной гипотезы о дисперсии должна завершиться выходом доверительного интервала целиком в одну из зон и принятием соответствующей гипотезы. Когда по экономическим, техническим и иным причинам дальнейшее продолжение испытаний (экспериментов) оказывается невозможным, придется принимать решение об отклонении той или иной гипотезы в зависимости от того, какого рода риск (первого или второго) более оправдан.