Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Учебник по Теории Вероятнисти.docx
Скачиваний:
11
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
3.8 Mб
Скачать

1.2.4. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

При постоянных условиях S выполняется n независимых испытаний. Результатом каждого испытания может быть только одно из двух противоположных событий: A или . Введем обозначения для вероятностей этих событий: P(A) = p, P( ) = q = 1 - p.

Требуется найти вероятность того, что при указанных условиях событие A произойдет ровно m раз. Комбинаций, в которых событие A произойдет ровно m раз, может быть несколько. Реализация каждой такой комбинации – сложное событие, которое представляет собой последовательность событий A и .

Обозначим эти сложные события буквой B, индекс у которой будет соответствовать номеру одной из возможных последовательностей:

=

. . . . . . . . . . . . . . . .

=

. . . . . . . . . . . . . . . .

= .

Общее количество таких последовательностей равно числу сочетаний из n по m, поскольку порядок следования их элементов неразличим, то есть

.

События попарно несовместны, поэтому в соответствии с аксиомой о счетной аддитивности

,

но независимо от i , поэтому вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A появится ровно m раз, равна

.

1.3. Дискретные случайные величины

Случайная величина – функция случайного события,  = f(). Область определения функции – пространство элементарных исходов , область значений – все вещественные числа.

Дискретная случайная величина – случайная величина, которая может принимать только счетное множество значений.

1.3.1. Распределение вероятностей дискретных случайных величин

Пусть , , ..., – полная группа непересекающихся событий , которые могут возникать при выполнении некоторых испытаний в условиях S. P , , ..., – вероятности событий .

Пусть также каждому из событий по какому-либо правилу поставлено во взаимно однозначное соответствие вещественное число . Так мы определили вещественную функцию случайных событий.

При выполнении испытаний эта функция будет принимать значения , . . . , с вероятностями .

Таким образом определена дискретная случайная величина  набором значений, которые она может принимать, и набором вероятностей, с которыми она может принимать эти значения:

.

Векторная запись этого определения экономнее: , где – вектор значений , , ..., , – вектор вероятностей .

С овокупность значений представляет собой наиболее полное описание дискретной случайной величины и называется распределением вероятностей.

Поскольку случайные события образуют полную группу непересекающихся событий,

Наряду с распределением вероятностей в теории вероятностей используется еще одна полная характеристика случайных величин, а именно, функция распределения вероятностей:

F(x) = P( ).

На рис. 4 приведен пример графического представления распределения вероятностей и функции распределения вероятностей дискретной случайной величины. Распределение вероятностей дискретной случайной величины изображается решетчатой функцией, высота каждого вертикального отрезка пропорциональна вероятности, с которой случайная величина принимает соответствующее значение.

Как следует из математического определения, функция распределения является неубывающей ступенчатой функцией. Каждый скачок этой функции происходит при значениях, которые может принимать случайная величина, а высота этих скачков пропорциональна соответствующим вероятностям.

Примером дискретной случайной величины может служить величина, порожденная бросанием шестигранной игральной кости. Случайным событием является положение кости на плоскости, которое она принимает в результате ее бросания на эту плоскость. Число вариантов этих положений – шесть, и если кость выполнена в виде идеального куба, то эти положения равновероятны. Правило, в соответствии с которым каждому такому случайному событию сопоставлено число, реализовано путем нанесения на грани кости целых чисел от одного до шести. Таким образом определена случайная величина

.

Поскольку все вероятности одинаковы, распределение вероятностей подобного вида называется равномерным распределением, а соответствующая случайная величина – равномерно распределенной случайной величиной.

Графическое представление такого распределения – решетчатая функция с отрезками равной высоты. Высота ступенек функции распределения одинакова.