2.5.5.2. Критерий Колмогорова – Смирнова

Из генеральной совокупности X , образованной случайной величиной , извлечена выборка . По этим данным строится выборочная функция распределения, как это описано в разд. 2.2. По виду выборочной функции распределения выдвигается предположение о том, что функция распределения есть , где – вектор параметров. По выборочным данным вычисляются оценки параметров , по соотношениям между ними уточняется вид функции распределения, и, если это нужно, ранее выдвинутое предположение уточняется. Проверяется сложная гипотеза

: функция распределения случайной величины  есть

против альтернативы

: функция распределения случайной величины  не .

П оскольку эта гипотеза сложная, задается только вероятность ошибки первого рода , которая в подобных случаях именуется уровнем значимости.

В соответствии с формулировкой гипотезы сравниваются две функции распределения: выборочная (см. разд. 2.2) и предполагаемая, представленные на рис. 37. Различие между ними определено, как

,

где – значения выборочной функции распределения при .

Статистикой критерия является величина D. Критические значения табулированы. Таблицы критических значений как функций от вероятности , приводятся практически во всех учебниках и справочниках по математической статистике. В таблице 6 приводятся некоторые часто употребляемые критические значения.

Таблица 6

Критические значения критерия Колмогорова – Смирнова

α
0,2	0,208	0,148	0,118	0,106
0,1	0,238	0,169	0,135	0,121
0,05	0,264	0,188	0,150	0,134

Если n > 10 и вероятность  выражена в относительных единицах, для расчета критических значений можно пользоваться приближенной формулой

.

П р о ц е д у р а п р о в е р к и г и п о т е з ы о в и д е ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я по критерию Колмогорова-Смирнова.

1. Задается уровень значимости .

2. По выборочным данным строят выборочную функцию распределения в соответствии с указаниями разд. 2.2.

3. Вычисляют точечные оценки моментов.

4. Из теоретических соображений, по виду выборочной функции распределения, по соотношениям между моментами, по значениям асимметрии и эксцесса, по результатам анализа других данных выдвигается гипотеза о виде функции распределения и тем самым – о виде плотности распределения .

5. Вычисляют r параметров предполагаемой функции распределения и ее значения при .

6. Вычисляют статистику критерия .

7. Полученное значение сравнивают с критическим значением .

8. Если делают вывод о том, что экспериментальные данные не подтверждают справедливость выдвинутой гипотезы или о том, что отсутствуют достаточные основания для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой. Гипотезу пересматривают, выдвигают новую нулевую гипотезу и переходят на п. 4 данной процедуры.

9. Если делают вывод о том, что экспериментальные данные не противоречат выдвинутой гипотезе или о том, что имеются достаточные основания для того, чтобы считать нулевую гипотезу справедливой.

Условие корректного применения критерия Колмогорова – Смирнова: исходная выборка делится на две части. По одной из них определяют параметры , по другой – строят выборочную функцию распределения и вычисляют статистику критерия. Это позволяет избавиться от необходимости учета зависимости между выборочными значениями, которая появляется в результате вычисления параметров предполагаемой плотности распределения и соответствующего уменьшения числа степеней свободы, как это было при использовании критерия .