2.5. Статистические методы проверки гипотез
2.5.1. Постановка задачи и общие принципы
Задача проверки гипотез заключается в проверке согласования теоретических априорных предположений об объекте исследования (испытаний, управления, регулирования) с опытными данными в условиях действия случайных факторов. Первичными являются опытные данные, как фактически полученные, при условии, что эти данные получены с помощью исправных средств корректными методами.
В условиях действия случайных факторов методы проверки гипотез являются статистическими, основанными на применении теоретического аппарата теории вероятностей и математической статистики.
Обозначения гипотез:
– нулевая
гипотеза,
как правило, априорное предположение
исследователя,
– гипотеза,
альтернативная
гипотезе
.
Говорят о проверке гипотезы против .
Теория проверки гипотез в математической статистике и все выполняемые операции базируются на априорном предположении о справедливости нулевой гипотезы.
Основной принцип, лежащий в основе статистических методов проверки гипотез, идеологически близок принципу, по которому строились доверительные интервалы в разд. 2.4, например, доверительный интервал для вероятности в разд. 2.4.2.
Этот принцип заключается в следующем. Если при справедливости гипотезы вероятность появления полученных экспериментальных данных не слишком мала, то говорят об отсутствии достаточных оснований для отклонения этой гипотезы.
Напротив, гипотезу считают недостаточно обоснованной, если при предположении о ее справедливости появление полученных данных маловероятно. Это означает, что экспериментальные данные не подтверждают справедливость нулевой гипотезы. В таких случаях говорят об отсутствии достаточных оснований для признания справедливости гипотезы .
Вообще категорические выводы о бесспорной справедливости или несправедливости нулевой или альтернативной ей гипотезы при условии действия случайных факторов в математической статистике делать нельзя.
2.5.2. Критическая область и критическое значение
Пусть
– выборка, изъятая из генеральной
совокупности
X,
плотность распределения которой
.
Для проверки гипотезы
против
вычисляется некоторая функция от
выборочных значений
,
вид которой определяется характером
проверяемой гипотезы и параметром
(характеристикой), относительно которого
выдвигается гипотеза.
Область определения этой функции – все значения, которые образуют генеральную совокупность X.
Область
значений функции
Z :
{
X}
делится на два непересекающихся множества
и
так, что
,
.
Обычно
областью определения функции
является вся вещественная ось, или
непрерывный ее отрезок, а каждая из
областей
и
– непрерывные части этого отрезка,
разделенные точкой или третьим непрерывным
отрезком. Точка, разделяющая эти области
отображает на оси
критическое значение,
которое обозначается, как
.
Совокупность функции
и множеств
,
называется критерием
проверки гипотезы
против
,
функция
– статистика
критерия,
множество
– критическая
область или
критическое
множество.
Понятно, что будучи функцией от выборочных
данных, статистика критерия является
случайной функцией.
выбирается
так, чтобы при предположении о
справедливости гипотезы
условная вероятность попадания статистики
критерия в критическую область
была небольшой.
Если
оказалось, что при выдвинутом предположении
о справедливости гипотезы
и небольшой заранее назначенной
вероятности статистика критерия попала
в критическую область, что соответствует
вероятности
,
то делается вывод о том, что, повидимому,
экспериментальные данные не подтверждают
справедливость нулевой гипотезы. В этой
ситуации говорят, что нет
достаточных оснований для признания
справедливости гипотезы
.
В противном случае, когда статистика
критерия попала в область
,
говорят, что нет
достаточных оснований для отклонения
гипотезы
.
Однако, из-за действия случайных факторов,
особенно, если объем выборки недостаточен,
возможны ошибки в таких суждениях, и
вероятности этих ошибок необходимо, по
крайней мере, знать.
В теории и практике статистических методов проверки гипотез используются следующие определения и понятия:
– вероятность
ошибки первого рода,
или риск
поставщика,
или риск
продавца,
или уровень
значимости,
(может применяться любой из этих терминов
применительно к конкретной ситуации),
– вероятность
ошибки второго рода,
или риск
заказчика,
или риск
покупателя.
Естественно, что
,
– называется
мощностью
критерия проверки
гипотез.
Вероятность
+
есть
вероятность ошибки.
Вероятности α и обычно выбираются в каждом конкретном случае из экономических или технических соображений, а также из соображений безопасности.
Приведем пример. При контроле выпускаемых изделий и действии случайных факторов вероятность есть не что иное, как относительное количество годных изделий, ошибочно забракованных и направленных на утилизацию, или на дополнительную регулировку, или в ремонт. Ущерб производителя складывается из напрасно затраченных средств на изготовление, ремонт, регулировку изделия и нереализованной прибыли от его реализации.
Вероятность – это не что иное, как относительное количество дефектных изделий, ошибочно выпущенных на реализацию, как годные. Потребитель, если он не предъявил рекламацию, несет прямой ущерб. Если же потребитель предъявил рекламацию, то ущерб несет производитель в размере затрат на транспортировку, ремонт, регулировку изделия, и кроме того производитель несет ущерб от утраты положительной репутации на рынке подобных изделий.