2.4.7. Бутстреп – оценивание

Бутстреп¹-оценивание – метод нахождения доверительных интервалов для числовых характеристик случайных величин и любых параметров плотности распределения, не зависящий от вида плотности распределения генеральной совокупности из которой извлечена выборка. Этот метод предложен Б. Эфроном и описан в его книге [10] а также в серии статей отечественных авторов, опубликованных в журнале [11].

Метод заключается в следующем.

Пусть имеется выборка , извлеченная из генеральной совокупности X, плотность распределения которой , где  – числовая характеристика или параметр, для которого по этой выборке –необходимо определить границы доверительного интервала.

Согласно бутстреп-методу, из имеющейся выборки конструируются бутстреп-выборки путем комбинации исходных выборочных значений при условии, что бутстреп-выборки должны отличаться хотя бы одним элементом. Порядок расположения элементов бутстреп-выборок не имеет значения. Объем бутстреп-выборок может быть различным, но, по построению, он будет обязательно меньше n. По каждой из бутстреп-выборок вычисляется оценка числовой характеристики или параметра .

Обозначим бутстреп-выборки , объемы этих выборок – , оценки параметра – . Объединим все эти обозначения в табл. 5.

Из полученных оценок строится вариационный ряд

,

и задача определения границ доверительного интервала для параметра  при доверительной вероятности Q ставится, как задача оценки интерквантильного промежутка с помощью непараметрических толерантных пределов (см. разд. 2.4.6.2.), если, конечно, количество членов вариационного ряда достаточно для этого. Поскольку в этой процедуре не могут возникать грубые промахи и резкие выбросы значений оценок , здесь не имеет смысла страховаться от них, поэтому достаточно использовать

Таблица 5

Бутстреп-выборки и оценки

Обозначение выборки	Бутстреп- выборка	Объем выборки	Оценка числовой характеристики (параметра)

только крайние члены вариационного ряда, то есть только первую строчку табл. 4 ( при оценивании интервала с симметричными границами) или вторую строчку (при оценивании правой и левой границы по отдельности). В качестве доверительной вероятности в данной ситуации принимается вероятность  из интервала значений (0.8 – 0.9), которая в дальнейшем не фигурирует, как характеристика качества оценки параметра .

Таким образом, для реализации бутстреп-метода оценивания используются непараметрические толерантные пределы из п. 2.4.6.2. применительно к вариационному ряду со следующей заменой: вероятность P (см. п.. 2.4.6.2). заменяется на вероятность Q настоящего пункта, в качестве вероятности Q (см. п. 2.4.6.2) назначается вероятность . Доверительной вероятностью для найденного доверительного интервала параметра считается вероятность Q.

На первый взгляд, метод кажется некорректным.

По теореме Шеннона, никакое преобразование информации не приводит к увеличению ее количества (эта теорема логически согласуется с положением физики о невозможности создания вечного двигателя). В данном случае, когда для нахождения доверительного интервала требуется значительное количество информации (как мы убедились хотя бы в предыдущем пункте), здесь она как будто добывается путем простого комбинирования элементов исходной выборки, информации в которой до того было недостаточно для решения той же задачи. И здесь не в пользу бутстреп-метода, но в согласии с английским бытовым значением этого слова возникают ассоциации с «опытом» барона Карла Иеронима Фридриха фон Мюнхгаузена самовынимания себя вместе с лошадью из болота за собственный парик.

Серьезные сомнения в корректности этого метода широко распространены в среде математиков – специалистов в области теории вероятностей и математической статистики.

Тем не менее публикации практических результатов применения этого метода и результаты статистического моделирования свидетельствуют о работоспособности метода в определенных условиях.