1.2.3. Условная вероятность

Пусть, как всегда, A  , B  и сформулированы условия S.

Условная вероятность есть вероятность осуществления одного из событий при условии, что другое событие состоялось. Обозначение условных вероятностей:

P(B/A) – условная вероятность события B при условии осуществления события A;

P(A/B) – условная вероятность события A при условии осуществления события B.

Найдем условную вероятность, например, P(B/A) с помощью классического определения вероятности по разд. 1.2.2. Для этого необходимо знать общее количество n предполагаемых испытаний, в результате которых могут осуществиться события A, B, A B.

Общее количество исходов, при которых возможна реализация условного события B/A, определяется исключительно числом появления события A, поскольку если оно не осуществится, то не осуществится и условное событие B/A. Пусть m – число исходов, благоприятствующих появлению события A. Понятно, что в общем случае .

В результате предполагаемых испытаний событие B может появиться и без появления события A, но условное событие B/A осуществляется только при совместном появлении событий A и B. В связи с этим число случаев, благоприятствующих появлению события A B, равно количеству случаев, благоприятствующих появлению события B/A или события A/B. Обозначим это количество s.

Тогда в соответствии с классическим определением вероятности

P(В/А)= ,

то есть

.

Таким образом, условная вероятность P(В/А) определяется, как

.

Точно так же

.

Из полученных выражений следует, что

.

События A и B независимы, когда P(B/A)=P(B) и P(A/B)=P(A).

Отсюда следует формулировка признака независимости случайных событий:

события A и B независимы тогда и только тогда, когда

P(A B)=P(A)P(B).

В самом деле, при таком соотношении

.

Если A и B связаны взаимно однозначно, то m=s, а потому

P(A B)=P(A)=P(B), P(B/A)=1, P(A/B)=1.

1.2.3.1. Формула полной вероятности

П усть при условиях S в возможно событие A. Кроме того в определена полная группа попарно непересекающихся событий , i=1, 2, ..., n, то есть

, .

Данная ситуация представлена на рис. 3. Из предъявленных соотношений следует, что

.

Воспользовавшись аксиомой Колмогорова о счетной аддитивности вероятностной меры и математическим определением условных вероятностей, получим:

.

Таким образом получена формула полной вероятности:

в которой события именуются гипотезами.

1.2.3.2. Формула Байеса

Воспользовавшись формулой условной вероятности и формулой полной вероятности, получим ценную для многочисленных приложений формулу Байеса:

.

Формула Байеса эффективно используется при исследованиях природных явлений, при исследованиях и испытаниях рукотворных объектов в условиях неопределенности математической модели исследуемых объектов и действия мешающих случайных воздействий. В этих условиях события, происходящие при исследованиях, неоднозначно связаны со свойствами и параметрами объектов.

Пусть – гипотезы (предположения) исследователя о свойствах или параметрах исследуемого объекта, рукотворного или природного. Эти гипотезы могут иметь одинаковый или различный приоритет, который выражается путем задания значений вероятностей . Эти вероятности в данной ситуации суть априорные вероятности гипотез .

В результате эксперимента или исследования событие A происходит с той или иной вероятностью. Это событие исследователь фиксирует, и по нему он должен вынести суждение об оправданности того или иного априорного предположения (гипотезы). В силу действия случайных факторов и неопределенности математической модели объекта однозначные причинно-следственные связи между предположениями (гипотезами) исследователя и результатами испытаний размыты. После выполнения эксперимента (испытания) фиксируется событие A. В этой ситуации можно оценить условные вероятности возможности реализации события A при справедливости каждой из гипотез. Таким образом после эксперимента правая часть формулы Байеса может быть рассчитана, и формула Байеса дает возможность оценить апостериорную вероятность той или иной гипотезы при условии, что результатом эксперимента оказалось событие A.

Естественно принять в качестве наиболее правдоподобного то предположение (гипотезу), апостериорная вероятность которого окажется наибольшей. Такое правило принятия решения, которое основано на применении формулы Байеса, называется байесовским. Этой же формулой порожден принцип максимума апостериорной вероятности, который часто и эффективно используется в теории и практике систем автоматического регулирования, при математической обработке результатов измерений, при идентификации объектов.

Наиболее широкое применение байесовский принцип максимума апостериорной информации находит в системах передачи информации по каналам связи, в которых велика вероятность искажения передаваемых символов и сообщений. Обычно это цифровые каналы. В них на передающей стороне применяется избыточное кодирование сообщений, а на приемной стороне устанавливается байесовский декодер, реализующий указанный байесовский принцип в реальном времени.