2.4.5. Доверительный интервал для дисперсии
Пусть,
как и ранее,
.
Математическое ожидание неизвестно,
для его оценки применено среднее
арифметическое
.
Точечная несмещенная оценка дисперсии
.
В
разд. 2.3.4.2 с) мы выяснили, что плотность
распределения случайной величины
есть плотность распределения
с n
- 1 степенями
свободы.
Квантили
этой плотности распределения
и
– границы интерквантильного промежутка,
который определяется равенством
.
Как видно из рис. 33 (см. также рис. 28), плотность распределения хи-квадрат несимметрична, поэтому после решения неравенства, стоящего в скобках, получим доверительные интервалы с несимметричными границами:
,
.
Расположение квантилей, использованных в этих формулах, показано на рис. 33.
Материалы настоящего раздела справедливы только для случаев, когда выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности.
2.4.6. Доверительные интервалы для интерквантильного промежутка
2.4.6.1. Параметрические толерантные пределы
Выборка
извлечена из нормальной генеральной
совокупности X,
образованной случайной величиной
.
Для этой генеральной совокупности
определен (задан) симметричный относительно
математического ожидания интерквантильный
промежуток
в соответствии с разд. 1.6.2 (см. рис. 10 а),
такой, что
.
Поскольку плотность распределения генеральной совокупности нормальна,
,
и границами этого промежутка являются
и
,
где
это
-процентная
квантиль нормальной случайной величины,
дисперсия которой
.
Например, при P
= 0,8 квантиль
,
при P
= 0,95 квантиль
.
Наша
задача состоит в том, чтобы по имеющейся
выборке, используя точечные оценки
математического ожидания и
среднеквадратического значения случайной
величины, определить границы доверительного
интервала, который накрывает искомый
интерквантильный промежуток
с заданной доверительной вероятностью
Q.
Границы такого доверительного интервала
называются толерантными
пределами.
Обозначим эти толерантные пределы,
нижний и верхний соответственно через
и
.
Поставленная задача будет решена, если
с вероятностью, не меньшей Q,
будут совместно выполняться неравенства
и
.
Понятно,
что расположение толерантных пределов
на оси должно определяться тремя
параметрами: вероятностью P,
для которой определен искомый
интерквантильный промежуток
,
объемом выборки n,
по которой мы будем находить точечные
оценки M[]
и
,
а также значением доверительной
вероятности Q.
Толерантные
пределы определяются с помощью
толерантных множителей
, которые зависят от перечисленных
параметров и обозначаются, как
.
Доверительный интервал, накрывающий
интерквантильный промежуток
с доверительной вероятностью Q,
определяется толерантными пределами
(см. [6], стр. 353, а также[13,14]):
,
где
.
Эти пределы называются параметрическими толерантными пределами, поскольку определяются через точечные оценки параметров плотности распределения. Они могут использоваться только для интервальной оценки интерквантильного промежутка нормальной генеральной совокупности.
Значения
толерантного множителя табулированы
в таблицах математической статистики
(см. [13] для n
50 или [14]).
Сопоставим
математическое определение генерального
интерквантильного промежутка, ширина
которого пропорциональна
с коэффициентом пропорциональности
,
и доверительный интервал для него,
Таблица 3