2.4.3. Доверительный интервал для математического ожидания. Дисперсия генеральной совокупности известна

Пусть выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, образованной случайной величиной , известна. Несмещенная, состоятельная и эффективная точечная оценка математического ожидания – среднее арифметическое

.

Это линейная функция выборочных значений, извлеченных из нормальной генеральной совокупности, нормальное распределение безгранично делимо, поэтому распределено нормально:

.

Вычтем из его математическое ожидание и разделим результат на его среднеквадратическое значение. Получим новую случайную величину, которая также нормально распределена:

.

Пусть – 100-процентная квантиль, -про-центная квантиль нормального распределения. Вероятностная мера интерквантильного промежутка есть

.

Пусть Q – доверительная вероятность, , . В силу симметрии нормального распределения . Решим неравенство, стоящее в скобках, относительно математического ожидания:

.

Доверительный интервал для математического ожидания построен для случаев, когда выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности. Но поскольку вычисляется путем суммирования выборочных значений, распределенных одинаково, условия центральной предельной теоремы соблюдаются, а это значит, что уже начиная с объемов выборки n = 15 – 20, плотность распределения среднего арифметического достаточно близка к нормальной вне зависимости от вида плотности распределения генеральной совокупности, из которой извлечена выборка. Начиная с таких объемов выборки, эта интервальная оценка может быть применена без ограничений на вид плотности распределения исследуемой случайной величины.

Следует обратить пристальное внимание на две тенденции поведения границ доверительного интервала:

1. С увеличением объема выборки при фиксированном значении доверительной вероятности ширина доверительного интервала уменьшается и в пределе стремится к нулю, что вполне естественно.

2. При фиксированном значении объема выборки с увеличением доверительной вероятности ширина доверительного интервала увеличивается, и в пределе при Q = 1 доверительным интервалом становится вся ось, что также вполне естественно, ибо для покрытия неизвестного значения с большой вероятностью требуется широкий интервал.

2.4.4. Доверительный интервал для математического ожидания. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна

Пусть как и ранее, , . Поскольку дисперсия неизвестна, будем использовать ее несмещенную оценку

.

По аналогии с разд. 2.4.3 сформируем случайную величину:

.

Плотность распределения этой случайной величины есть плотность распределения Стъюдента с n – 1 степенью свободы, которая имеет следующий вид:

.

Это одномодальная симметричная плотность распределения. При значительных объемах выборки n математическое ожидание, дисперсия и эксцесс случайной величины τ, распределенной по Стъюденту:

.

Единственный параметр плотности распределения Стъюдента – число степеней свободы.

Частный вид плотности распределения Стъюдента при n = 2 – плотность распределения Коши. При n   плотность распределения Стъюдента стремится к нормальному распределению. Удовлетворительная близость к нормальному распределению начинается уже с n = 20.

Квантили распределения Стъюдента с числом степеней свободы n - 1: и – границы интерквантильного промежутка, такого, что

В силу симметрии плотности распределения Стъюдента

= - .

С учетом этого факта и выражая вероятность  через Q, решим неравенство, стоящее в скобках, относительно a :

.

Получен доверительный интервал для математического ожидания в условиях, когда вместо дисперсии применяется ее несмещенная оценка.

В этом случае также проявляется полезное свойство центральной предельной теоремы, позволяющее при значительных объемах выборки (начиная с n = 20) пользоваться полученным доверительным интервалом для оценки математического ожидания широкого класса наиболее употребительных случайных величин, плотность распределения которых отличается от нормальной.

Как и в предыдущем разделе, обращаем внимание на две тенденции поведения границ доверительного интервала.

1. С увеличением объема выборки при фиксированном значении доверительной вероятности ширина доверительного интервала уменьшается и в пределе стремится к нулю, что вполне естественно.

2. При фиксированном значении объема выборки с увеличением доверительной вероятности ширина доверительного интервала увеличивается, и в пределе при Q = 1 доверительным интервалом становится вся ось, что также вполне естественно, ибо для покрытия неизвестного значения с большой вероятностью требуется широкий интервал.