2.3.7.5. Измерения многократные, характеристики погрешностей известны

Полагаем, что известны характеристики погрешностей измерения значений аппроксимируемой функции:

при равноточных измерениях – дисперсия ,

при неравноточных измерениях – ковариационная матрица .

В частном случае ковариационная матрица может быть диагональной, i-ми элементами диагонали являются дисперсии погрешностей измерения значений аппроксимируемой функции.

При каждом значении аргумента , i = 1, 2, ..., k, выполняется n измерений функции. Обозначим результаты этих измерений , где j – номер эксперимента, j = 1, 2, ..., n. Вычисляются средние арифметические значения

,

из которых составляется вектор , после чего в зависимости от обстоятельств вычисляются МНК или ОМНК-оценки коэффициентов аппроксимирующего полинома по формулам разд. 2.3.7.2, где вместо вектора следует использовать вектор .

В силу центральной предельной теоремы плотность распределения среднего арифметического стремится к нормальной довольно быстро при любых плотностях распределения исходных погрешностей, которые не слишком сильно различаются по дисперсии (см. разд. 1.6.6.4). Поэтому при многократных измерениях требование к нормальности распределения погрешностей измерений значительно смягчается.

Как известно из разд. 2.3.4.1, дисперсии средних арифметических . Точно так же из разд. 2.3.4.4 следует, что ковариационная матрица вектора средних арифметических . В связи с этими обстоятельствами формулы разд. 2.3.7.2, 2.3.7.3 несколько изменятся.

а) П р и м е н е н и е МНК.

, ,

,

но, как и прежде, .

б) П р и м е н е н и е ОМНК.

, , ,

n ,

но, как и прежде, .

2.3.7.6. Измерения многократные, характеристики погрешностей неизвестны

В разделе 2.3.7.5 предполагалось, что ковариационная матрица или, по крайней мере, дисперсии погрешностей результатов измерений известны, что на практике бывает достаточно редко, особенно в отношении ковариационной матрицы.

Однако при многократных измерениях предоставляется возможность оценить дисперсии при каждом i :

или ковариационную матрицу в целом.

Корректная оценка всех элементов ковариационной матрицы , не только диагональных, но и внедиагональных возможна лишь при выполнении специально организованного эксперимента.

Выполняется один цикл измерений в такой последовательности:

воспроизводится значение физической или иной величины, соответствующее первому значению аргумента и выполняется измерение (определение) значения функции, полученный результат – ;

воспроизводится значение физической или иной величины, соответствующее второму значению аргумента и выполняется измерение (определение) значения функции, полученный результат – ;

описанная процедура продолжается до достижения последнего, k-го значения аргумента х, таким образом будет получен первый вектор результатов измерений ;

устанавливается значение физической величины x, превышающее значение , затем вновь устанавливается значение , и процесс повторяется, но в обратном порядке, при уменьшении значений x; таким образом будет получен второй вектор результатов .

При повторении подобных циклов измерений в конечном итоге будет получено четное количество n векторов вида

, j = 1, 2, . . . , n.

По этому массиву экспериментальных данных вычисляются оценки (см. разд. 2.3.4.3, 2.3.4.4) :

, .

Оценка ковариационной матрицы построена в соответствии с ее математическим определением, приведенным в разд. 1.7.3. Поскольку при реализации ОМНК эту матрицу придется обращать, она не должна быть особенной. Для этого необходимо, чтобы n > k. Но если по техническим, экономическим или иным причинам это условие выполнить невозможно, то придется ограничиться вычислением только оценок дисперсий при каждом значении . По этим значениям строится диагональная матрица , в диагонали которой на i-м месте стоит оценка дисперсии . В таком случае не учитывается ковариация между измерениями в точках , что приводит к незначительной потере в эффективности оценок коэффициентов, но они остаются несмещенными (см. разд.2.3.7.4, замечание 1).

После этого для вычисления оценок коэффициентов аппроксимирующего полинома применяется ОМНК с заменой во всех формулах разд. 2.3.7.5 матрицы на :

, , ,

n ,

Вследствие случайности исходных данных величина также случайна. Из-за того, что в формуле для вместо генеральной ковариационной матрицы участвует ее оценка, распределение “хи-квадрат” неприменимо. Вместо него здесь применяется плотность F-распределения Фишера (иногда она именуется, как плотность распределения Фишера-Снедекора), и обозначается, как , где и – количества степеней свободы. Плотность распределения Фишера имеет случайная величина [5]

F = ,

что записывается в виде

F = .

Эта плотность распределения широко используется для сопоставления дисперсий генеральных совокупностей при дисперсионном анализе посредством исследования отношения оценок этих дисперсий. Нетрудно увидеть, что величина также, в некотором смысле есть отношение дисперсий. Функция распределения Фишера табулирована, таблицы приводятся в специальных таблицах математической статистики (например, [1,13, 14]).

Из последних выражений для величины F следует, что при подготовке эксперимента по аппроксимации зависимостей необходимо обеспечить неравенство n > k - q -1. Это неравенство выполняется всегда, поскольку для предотвращения особенности матрицы необходимо выполнить неравенство n > k, которое означает превышение количества повторных измерений над количеством точек, в которых выполняется эксперимент. Иногда по техническим, экономическим или иным объективным причинам это условие оказывается невыполнимым. В таком вынужденном случае придется формировать диагональную матрицу :

, ,

и применять ее при вычислении оценок коэффициентов.

В этой ситуации должно быть k > q + 1, и F‑распределению Фишера подчиняется случайная величина

F = .

Число степеней свободы k - q - 1 и n - 1.

В частном случае, когда по результатам проверки по критерию Кочрена (п. 2.5.6.1) гипотезы о равенстве дисперсий будет принято решение о применении МНК, вычисляется средняя оценка дисперсии

,

которая подставляется вместо во всех соответствующих формулах разд. 2.3.7.5

, ,

,

И в этом случае случайная величина

F = .

распределена в соответствии с F-распределением Фишера с числом степеней свободы k - q - 1 и n - 1.

Все замечания, сделанные выше в разд. 2.3.7.4, распространяются на случаи многократных измерений в полном объеме.