2.3.7.3. Плотность распределения величины
Начнем с рассмотрения величины
,
которая
вычисляется в рамках применения МНК,
когда для получения оценок коэффициентов
a
достаточно знать лишь о факте равноточности
измерений, а значение дисперсии
погрешностей измерений может быть
неизвестным.
В
выражении для
– вектор выборочных значений,
.
Вектор
– несмещенная
ММП-оценка своего математического
ожидания
.
Поэтому
.
В соответствии с МНК и постановкой
задачи в разд..
2.3.7.1 компоненты
вектора случайных погрешностей ε
распределены нормально с одинаковыми
параметрами
.
Поэтому компоненты вектора
,
то есть разности
При
равноточных измерений можно считать
выборочными значениями погрешностей,
изъятыми из одной нормальной генеральной
совокупности
.
Тогда реализуется МНК, и значение
представляет собой сумму
,
где
дробь
,
а сумма квадратов этих дробей есть не
что иное, как сумма квадратов нормальных
случайных величин с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией.
Такая сумма распределена по закону с числом степеней свободы, равным количеству слагаемых k , уменьшенному на количество связей между выборочными значениями. В данном случае количество таких связей равно количеству уравнений, из которых получены оценки коэффициентов а, то есть q + 1. Поэтому число степеней свободы k – q – 1. На этом основании заключаем, что
,
Ранее,
в одномерном случае в разд. 2.3.4.2. в) было
обнаружено, что распределению
с n
– 1 степенью свободы подчиняется величина
.
Это также сумма
.
Поэтому по аналогии с величиной мы можем заключить, что при однократных равноточных измерениях несмещенной оценкой дисперсии погрешностей этих измерений может служить величина
=
При k = q + 1 это выражение теряет смысл. Подобная ситуация возникает в одномерном случае, когда математическое ожидание исследуемой случайной величины неизвестно и выполняется только одно измерение, то есть n = 1. Тогда оценить характеристику разброса, каковой является дисперсия, принципиально невозможно (см. также разд. 2.3.4.2. b). Поэтому при организации эксперимента необходимо обеспечивать k > q + 1.
При применения ОМНК также
.
По материалам настоящего раздела см. также [5, 7].
2.3.7.4. Практически важные замечания
З а м е ч а н и е 1. При однократных измерениях применение ОМНК затруднено тем, что ковариационная матрица в большинстве случаев неизвестна. Реально известными могут быть только дисперсии случайных погрешностей из нормативной документации на средство измерений, применяемое для измерения значений функции y = f(x). В этой ситуации ковариационная матрица вынужденно оказывается неполной: в ней остаются только диагональные элементы , а внедиагональные элементы, которые характеризуют степень корреляции между результатами измерений, отсутствуют. Возникает естественный вопрос о том, как влияет недостаток этой информации на качество получаемых оценок.
Исследования
показывают, что неучет
корреляции
в пределах
приводит лишь к незначительной
потере эффективности оценок. Оценки
остаются несмещенными.
В случаях, когда при неравноточных измерениях применяется МНК, то есть когда неравноточность не учитывается, в оценках коэффициентов появляется нежелательное смещение.
З
а м е ч а н и е 2. Отличие фактической
плотности распределения погрешностей
от нормальной приводит к потере
эффективности оценок среди всех
возможных. Однако на
множестве всех линейных оценок,
то есть оценок, которые линейно зависят
от экспериментальных данных, ОМНК
и МНК- оценки эффективны
для любых плотностей распределения
погрешностей
.
Это означает, что при каждом конкретном
виде плотности распределения может
быть получена более эффективная оценка,
чем оценка ОМНК или МНК, но она обязательно
будет нелинейно зависеть от экспериментальных
данных.
З а м е ч а н и е 3. Нестатистический вариант полиномиальной аппроксимации сложных функций.
Этот вариант может возникать при желании упростить представление и(или) вычисление сложных функций. В этом варианте в качестве исходных данных совместно используются:
значения аппроксимируемой функции, вычисленные на компьютере с высокой точностью, или табличные значения, взятые из математических или иных справочников;
заданная
исследователем точность аппроксимации
в виде неравенств типа
.
Если
заданные значения
одинаковы, то можно применить МНК с
подбором подходящей степени полинома
q
по признаку удовлетворения требований
к точности аппроксимации.
При
различии значений
можно применить ОМНК, а в качестве
ковариационной матрицы
использовать диагональную матрицу с
элементами в диагонали, равными
или
– по усмотрению исследователя. Степень
полинома, необходимая для достижения
требуемой точности аппроксимации,
подбирается путем проб.
В этой ситуации статистические и вероятностные термины и характеристики не применяются.
З а м е ч а н и е 4. Все установленные выше свойства ОМНК и МНК- оценок коэффициентов аппроксимирующих полиномов справедливы только тогда, когда модель, то есть вид полинома (степенной полином) и его степень известны. Если фактическая степень полинома выше, чем q, то получаемые оценки коэффициентов будут смещены, и оценки не будут обладать теми свойствами, которые были обнаружены выше в разд. 2.3.7.2, 2.3.7.3. Оценки коэффициентов будут смещены, а плотность распределения величины не будет соответствовать распределению “хи-квадрат”.