2.3.4.3. Свойства оценки математического ожидания случайного вектора

Из многомерной генеральной совокупности X , образованной случайным вектором с математическим ожиданием и ковариационной матрицей извлечена вы­борка векторов , которые попарно независимы в соответствии с исходным требованием математической статистики об обеспечении независимости выборочных данных. Несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания каждой компоненты случайного вектора , как следует из разд. 2.3.4.1, является среднее арифметическое значение, вычисленное по выборочным значениям соответствующих компонент выборочных векторов:

, j = 1, 2, ..., k.

Значит, несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания является вектор, составленный из таких компонент:

.

Ковариационная матрица этого вектора

.

Это следует хотя бы из того, что каждый j-й диагональный элемент матрицы , который является дисперсией каждой j-й компоненты вектора средних арифметических , в n раз меньше дисперсии j-го компонента случайного вектора , то есть j-го диагонального элемента ковариационной матрицы (см. разд. 2.3.4.1):

.

Точно так же пропорционально изменяются и остальные элементы матрицы , поэтому

.

2.3.4.4. Оценка ковариационной матрицы случайного вектора

Из многомерной генеральной совокупности X , образованной случайным вектором с математическим ожиданием и ковариационной матрицей , извлечена вы­борка векторов , которые попарно независимы в соответствии с исходным требованием математической статистики об обеспечении независимости выборочных данных.

Оценкой ковариационной матрицы является матрица той же размерности, диагональные элементы которой – оценки диагональных элементов матрицы , то есть дисперсий j-х компонент случайного вектора ξ. Желательно получить несмещенные оценки этих дисперсий, как и всех остальных элементов матрицы , то есть ковариаций.

Вычисление оценки ковариационной матрицы выполняется в соответствии с ее определением (см. разд. 1.8), где вместо символа математического ожидания, как и ранее, используются суммирование и усреднение. Поэтому несмещенная оценка ковариационной матрицы, все элементы которой должны быть несмещенными оценками элементов матрицы , вычисляется по формуле

.

В знаменателе этой формулы n уменьшается на единицу, как и в разд. 2.3.4.2, поскольку каждый элемент матрицы “истратил” по одной степени свободы из-за предварительного вычисления среднего арифметического значения соответствующей компоненты. Это понятно и из такого соображения: по выборке объема n = 1 (при этом в знаменателе формулы будет 0) невозможно судить ни о разбросе значений случайных величин, ни о степени их коррелированности. Кроме того, при оценивании ковариационной матрицы необходимо обеспечить, чтобы объем k выборки был не меньше их размерности, то есть чтобы выполнялось неравенство , иначе определитель матрицы будет равен 0, а сама матрица окажется особенной.