2.3.4.1. Свойства оценок математического ожидания

Выборка извлечена из генеральной совокупности X, образованной случайной величиной . Генеральные моменты: математическое ожидание M[]= , дисперсия .

Для оценки математического ожидания используют несколько видов оценок. Наиболее популярной оценкой является среднее арифметическое значение

.

Среди других оценок назовем выборочную медиану и середину размаха , которые применяются в случаях, когда случайная величина  имеет симметричную плотность распределения.

Рассмотрим подробно свойства оценки .

a) П р о в е р и м н е с м е щ е н н о с т ь среднего арифметического, используя формулы для математического ожидания линейной функции от случайной величины, полученные в разд. 1.6.5:

,

а это означает, что среднее арифметическое выборочных значений есть несмещенная оценка математического ожидания случайной величины независимо от вида закона распределения.

б) Н а й д е м д и с п е р с и ю среднего арифметического, используя те же формулы разд. 1.6.5 с учетом следующих обстоятельств:

выборочные значения попарно независимы;

выборочные значения случайны на множестве групп экспериментов объемом n, и каждое из них распределено так же, как случайная величина , каждое выборочное значение имеет числовые характеристики генеральной совокупности.

.

Поскольку выборочные значения изъяты из одной генеральной совокупности, их дисперсии одинаковы. Поэтому

.

Среднеквадратическое значение среднего арифметического

.

Из полученных соотношений видно, что обработка результатов многократных измерений путем вычисления среднего арифметического небесполезна, ибо показатель разброса значений средних арифметических убывает с увеличением объема выборки.

Из последующего материала (разд. 2.3.5) мы узнаем:

что среднее арифметическое – эффективная оценка математического ожидания нормальной случайной величин;

что выборочная медиана – несмещенная оценка математического ожидания случайных величин с симметричной плотностью распределения, она является эффективной оценкой математического ожидания случайной величины, распределенной по Лапласу (см. также разд. 2.3.5);

что середина размаха – несмещенная оценка математического ожидания случайных величин с симметричной плотностью распределения и является эффективной оценкой математического ожидания случайной величины, распределенной равномерно или по закону Arcsin.

в) П р о в е р и м с о с т о я т е л ь н о с т ь среднего арифметического, как оценки математического ожидания.

Применим неравенство Чебышева (разд. 1.6.8), приняв в качестве случайной величины  среднее арифметическое с дисперсией . Из неравенства

следует противоположное ему:

.

Поскольку среднее арифметическое есть несмещенная оценка математического ожидания, . Поэтому

.

Каким бы малым не было , его значение фиксировано, поэтому при n   вычитаемое в правой части неравенства стремится к нулю, а правая часть – к единице.

Таким образом, состоятельность среднего арифметического как оценки математического ожидания доказана независимо от вида закона распределения.

Мы получили пример полезного применения неравенства Чебышева, несмотря на грубость даваемой им оценки.

Выборочная медиана и середина размаха – состоятельные оценки математического ожидания случайных величин с симметричной плотностью распределения.

г) П л о т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я среднего арифметического.

Примем вначале, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности . Тогда на множестве групп экспериментов каждое выборочное значение распределено также нормально, то есть В силу безграничной делимости нормального распределения сумма выборочных значений распределена нормально, а умножение ее на множитель 1/n приводит лишь к изменению масштаба. Таким образом, на основании свойств a) и b) получаем, что

.

Более того, по центральной предельной теореме (разд. 1.6.6.4), плотность распределения среднего арифметического ассимптотически нормальна вне зависимости от вида плотности распределения генеральных совокупностей, из которых изъяты выборочные значения.