2.3.2.2. Оценивание моментов по выборочной плотности распределения (по гистограмме)
В отличие от разд. 1.6.2, где определены генеральные моменты, здесь для определения оценок моментов вместо плотности распределения генеральной совокупности будем использовать выборочную плотность, то есть гистограмму (см. рис. 27). В соответствии с математическими определениями генеральных моментов их оценки по гистограмме приобретают иной вид:
оценки начальных моментов
;
оценки центральных моментов
.
Понятно, что потери информации, вызванные группированием выборочных значений при построении гистограммы, снижают качество оценок по сравнению с оценками по выборочной функции распределения.
Пользуясь этими общими формулами, найдем оценки математического ожидания и дисперсии.
.
Поскольку
,
,
где
– середина m-го
отрезка, окончательно получим:
.
Оценка дисперсии.
.
Используя
равенство
,
сделаем замены:
, 
,
.
Тогда предыдущее равенство упрощается:
.
Окончательно получим
.
Слагаемое
называется поправкой
Шеппарда.
2.3.3. Оценивание параметров законов распределения
Рассмотрим
задачу оценивания r
параметров
закона распределения (плотности
распределения)
случайной величины
по выборочным данным.
Поскольку
,
все начальные моменты являются функциями искомых параметров, и в общем случае можно записать
.
Точно так же функциями параметров являются и центральные моменты. В качестве примеров таких функций можно привести экспоненциальный и равномерный законы распределения, для которых, как было установлено в разд. 1.6.6:
,
– для экспоненциального закона;
– для
равномерного закона.
Указанные зависимости используются для оценивания параметров Θ в тех случаях, когда закон распределения генеральной совокупности известен. С этой целью по выборочным данным находят оценки моментов. Количество моментов, подлежащих определению, должно быть равно числу r искомых параметров. Таким образом будут получено r уравнений:
.
Искомые параметры находят путем решения этих уравнений.
2.3.4. Свойства точечных оценок
Поскольку выборочные значения (вектор выборочных значений) случайны на множестве исходов экспериментов, повторяющихся в неизменных условиях и в неизменном объеме, то оценки моментов и параметров законов распределения также случайны, а потому в качестве характеристик их свойств применяют вероятностные критерии.
Применим
общее обозначение генеральных моментов
и параметров случайных величин и их
законов распределения: .
Для обозначения оценок моментов и
параметров, вычисляемых по выборке
объема n,
будем использовать обозначение
.
Важнейшими свойствами точечных оценок являются: несмещенность, эффективность, состоятельность. В последнее время возрастает роль четвертого свойства – устойчивости (resistance).
a) Оценка момента (или параметра) является несмещенной, если ее математическое ожидание при фиксированном объеме выборки n равно оцениваемому генеральному моменту или параметру:
.
б) Оценка момента (или параметра) эффективна, если при фиксированном объеме выборки n она обладает минимальной дисперсией среди всех оценок данного момента (параметра):
.
в) Оценка момента (или параметра) состоятельна, если с увеличением объема выборки n она стремится по вероятности к генеральному значению момента (или параметра), то есть если при любом сколько угодно малом положительном
.
г) Устойчивые оценки – оценки, нечувствительные или малочувствительные к возмущениям в виде грубых промахов измерений, погрешностям вычислений и т.п.
Оценки могут быть:
несмещенные, эффективные, состоятельные;
несмещенные, но неэффективные;
эффективные, но смещенные;
смещенные при каждом фиксированном n , но состоятельные, такие оценки являются асимптотически несмещенными.