2.3. Точечное оценивание
Точечной статистической оценкой называется оценка числовой характеристики или параметра генеральной совокупности, выражаемая одним числом.
2.3.1. Оценивание квантилей
Оценивание
квантилей выполняется по выборочной
функции распределения, по сути дела,
графическим способом. Это можно показать
на примере точечного оценивания медианы,
то есть 50%-ной
квантили
.
Для этого по заданной вероятности q
= 0,5 на графике выборочной функции
распределения (рис. 26) проводят
горизонтальную прямую до ее пересечения
с выборочной функцией распределения.
Абсцисса точки пересечения есть искомая
оценка
,
которая является выборочной
медианой
.
Этой абсциссой при нечетном n
= 2k
+ 1 обязательно окажется, по построению,
выборочное значение – средний член
вариационного ряда
.
Для
оценки других квантилей, например,
квартили
или децили
горизонтальные линии проводят на уровне
вероятности
=
0,25 или
=
0,1 соответственно. Так же находятся
точечные оценки высоковероятных
квантилей
или
.
Из графика (см. рис. 26) видно, что абсциссой
пересечения выборочной функции
распределения с любой горизонтальной
прямой обязательно окажется одно из
выборочных значений. И здесь необходимо
обратить внимание на следующее
обстоятельство.
Пусть
необходимо оценить квантиль
при
или квантиль
при
.
При задании вероятностей
и
из указанных промежутков оценками
соответствующих квантилей неизменно
окажется первый или последний член
вариационного ряда независимо от
заданных значений вероятностей, что
будет свидетельствовать о крайне низкой
достоверности этих оценок. Для того
чтобы не сталкиваться с подобной
ситуацией, необходимо установить
минимально допустимый объем выборки,
обеспечивающий достаточную достоверность
получаемых оценок квантилей в зависимости
от задаваемой вероятности. Эту задачу
решим, исходя из приведенных неравенств:
при задании значения вероятности, не превышающего 0,5
;
при задании значения вероятности, превышающего 0.5
.
Так,
например, если задана вероятность
= 0,05, то для точечного оценивания квантили
объем выборки не должен быть меньше 20.
Если задана вероятность
= 0,99, то для точечного оценивания квантили
объем выборки не должен быть меньше
100. Рекомендуется увеличивать объем
выборки сверх минимального, указанного
этими неравенствами, чтобы застраховаться
от возможных грубых промахов измерений,
которые могут быть вызваны импульсными
помехами или сбоями аппаратуры.
Пусть
стоит задача получить точечные оценки
границ интерквантильного промежутка
.
Как следует из разд. 1.6.2, генеральными
граничными квантилями этого промежутка
являются
и
.
Поэтому точечное оценивание границ
интерквантильного промежутка состоит
в поочередном оценивании каждой из этих
квантилей при соблюдении указанных
ранее соотношений и рекомендаций
относительно необходимого объема
выборки, то есть
для
оценки нижней границы
;
для оценки верхней границы также .
В
частности, если задано
P = 0,95, то
минимальный объем выборки составит
.