1.8. Многомерный случайный вектор

Как и ранее, будем обозначать случайный вектор и его компоненты греческими буквами, а значения, которые они принимают, – латинскими:

, .

Функция распределения и плотность распределения многомерного случайного вектора определяются по аналогии с такими же характеристиками двумерного вектора (см. разд. 1.7.1):

,

.

Моменты отдельных компонент случайного вектора вычисляются по формулам, аналогичным формулам разд. 1.7.2.

Начальные моменты k-го порядка

,

центральные моменты k-го порядка

.

В частности математические ожидания и дисперсии i – х компонент:

,

.

Из бесчисленного количества комбинаций смешанных моментов запишем только ковариации, то есть центральные смешанные моменты порядка 1, 1:

,

где – коэффициент корреляции компонент и , – среднеквадратические значения этих компонент.

Математическое ожидание, ковариационная и корреляционная матрицы многомерного случайного вектора:

,

,

.

Обе матрицы симметричны и неотрицательно определены. Если компоненты вектора независимы или хотя бы некоррелированы, то матрицы диагональны, а корреляционная матрица есть единичная матрица.

Маргинальные (частные) и условные плотности распределения могут быть многомерными:

,

,

где m = 1, 2, . . . , n – 1.

Характеристическая функция многомерного случайного вектора записывается в векторном виде так же, как в разд. 1.7.5:

,

где вектор есть .

Ее свойства, перечисленные в разд. 1.7.5, полностью сохраняются.

Математическое ожидание и ковариационная матрица вектора ψ, который получается в результате линейного преобразования вектора ξ: , выражаются, формулами, которые были получены в разд. 1.7.4:

, .

Многомерная нормальная плотность распределения имеет вид

.

Сечения этой поверхности плоскостями – многомерные эллипсоиды.

Принадлежность случайного вектора n-мерному нормальному распределению будем обозначать, как .

Дифференциальная (относительная) энтропия нормального случайного n-мерного вектора равна

.

1

2. М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я С Т А Т И С Т И К А

2.1. Задачи математической статистики

Основными задачами математической статистики являются:

1) определение числовых характеристик, параметров и свойств случайных величин по результатам экспериментов (испытаний);

2) проверка статистических гипотез о числовых характеристиках, параметрах и свойствах случайных величин по результатам экспериментов (испытаний);

Все значения, которые может принимать случайная величина , образуют генеральную совокупность X. При выполнении экспериментов (испыта­ний) из генеральной совокупности извлекаются значения

,…

которые называются выборочными значениями, а массив выборочных значений называется выборкой. Количество выборочных значений n – объем выборки. В ряде случаев нам будет удобно обозначать выборку с помощью вектора выборочных значений , где индекс n обозначает объем выборки, то есть размерность этого вектора.

Пусть F(x), (x) – функция распределения и плотность распределения случайной величины . В дальнейшем будем называть их, а также их числовые характеристики и параметры генеральной функцией распределения, генеральной плотностью распределения, генеральными числовыми характеристиками и генеральными параметрами соответственно. Оценки функции распределения, плотности распределения, числовых характеристик и параметров, полученные по выборочным значениям, будем называть выборочными.

В математической статистике принято, что все эксперименты (испытания) выполняются таким образом, чтобы выборочные значения были независимыми в смысле определения независимости, сформулированного в разд. 1.2.3, 1.7.1. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что эксперимент (испытания) организован таким образом, чтобы это условие обеспечивалось.

В дальнейшем нам придется говорить о случайности выборочных значений и соответственно – о случайности оценок характеристик и параметров, полученных путем обработки выборочных значений.

Противоречивость ситуации состоит в следующем. С одной стороны, выборочные значения, которые получены в результате эксперимента, – это реализации значений, принятых случайной величиной, и они не являются случайными. С другой стороны, при повторении n экспериментов выборочные значения будут иными. То есть выборочные значения и вектор выборочных значений являются функциями случайных событий. Поэтому в дальнейшем будем считать выборочные значения случайными на множестве групп экспериментов (испытаний) объемом n каждая, выполняемых в одних и тех же неизменных заранее сформулированных условиях. В терминах и аксиоматике, введенных в разд. 1, это означает, что в качестве элементарного события будем рассматривать исход одного эксперимента, результатом которого является получение выборочного вектора х. В таких условиях это случайный n-мерный вектор с независимыми одинаково распределенными компонентами, поскольку все выборочные значения в соответствии с соглашениями, принятыми в математической статистике, извлечены из одной генеральной совокупности. Вероятностная мера на этом множестве порождена вероятностной мерой, которая определена генеральной совокупностью исследуемой случайной величины .