1.7.4. Линейные функции случайных векторов

Задан общий вид линейной функции случайного вектора:

,

где – неслучайный вектор, A – квадратная матрица:

.

Найти математическое ожидание и ковариационную матрицу случайного вектора .

,

то есть, как и ранее, математическое ожидание линейной функции от случайного вектора есть функция от математического ожидания.

Для нахождения ковариационной матрицы вектора воспользуемся математическим определением ковариационной матрицы, приведенным в разд. 1.7.3, и только что полученным выражением для математического ожидания линейной функции случайного вектора:

.

В конечном итоге получим важную формулу:

.

Как и ранее, мы видим, что ковариационная матрица не зависит от вектора , то есть от систематического (не случайного) сдвига случайного вектора.

Возможно так подобрать матрицу A, чтобы ковариационная матрица оказалась диагональной, и тем самым компоненты вектора – некоррелированными.

Рассмотрим важный частный случай, когда матрица A = (a, b), а вектор состоит из одной компоненты. В этом случае вместо вектора имеем скаляр, и рассматриваемое преобразование выглядит следующим образом:

.

Пользуясь только что полученной формулой, получим

.

Ковариационная матрица (в нашем случае – дисперсия) получается после преобразований, которые мы осуществим по формуле для ковариационной матрицы:

.

Перемножив эти два вектора, окончательно получим

.

В частном случае, когда  и  независимы, дисперсия случайной величины  = a + b

.

Если a = b = 1, эта формула приобретает совсем простой вид и означает, что дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Полученные формулы справедливы вне зависимости от вида плотности распределения участвующих случайных величин.

1.7.5. Характеристическая функция двумерного случайного вектора

Двумерный случайный вектор ζ задан плотностью распределения (x,y) и в результате “испытаний” принимает значения z.

Обозначение и математическое определение характеристической функции вектора ζ:

,

где ν – двумерный вектор, с компонентами и .

В соответствии с математическим определением математического ожидания

.

Свойства характеристических функций двумерного вектора аналогичны свойствам, которые были установлены в разд. 1.6.4 для характеристических функций случайной величины:

;

;

;

.

К этим свойствам добавляется еще одно. Пусть  и  независимы и  =  + . Тогда

,

то есть характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций этих величин.

Это свойство не могло быть обнаружено в разд. 1.6.4, поскольку не была определена совместная плотность распределения случайных величин.

1.7.6. Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин

Поскольку  и  независимы, совместная плотность распределения (x,y) = . Сделаем замену x = z – y, тогда (z - y,y) = , после чего найдем маргинальную плотность распределения

.

Если вначале сделать замену y = z - x , то получим

.

Рассмотрим эту задачу с других позиций.

Ранее мы обращали внимание на то, что интегральное преобразование, которое связывает плотность распределения и характеристическую функцию случайной величины, аналогично преобразованию Фурье и обладает его свойствами. В настоящем разделе мы используем следующее свойство преобразования Фурье: преобразование Фурье свертки двух функций есть произведение образов Фурье каждой из этих функций. В силу взаимной однозначности преобразования Фурье справедливо и обратное, то есть преобразование Фурье произведения функций есть свертка их Фурье-образов.

Если  =  +  и величины  и  независимы, то характеристическая функция их суммы есть произведение характеристических функций слагаемых . Прямое преобразование Фурье этого произведения, в соответствии с указанным выше свойством, есть свертка плотностей распределения слагаемых:

.

Применительно к плотностям распределения эту операцию иногда называют композицией.

Здесь мы еще раз вспомним о центральной предельной теореме, в соответствии с которой с увеличением числа независимых слагаемых случайных величин их сумма асимптотически нормальна, а это значит, что многократная свертка плотностей распределений должна приводить к плотности распределения, приближающейся к нормальной.