2.4.4. Доверительный интервал для математического ожидания.
Дисперсия генеральной совокупности неизвестна………………………… 152
2.4.5. Доверительный интервал для дисперсии………………………………….. 154
2.4.6. Доверительные интервалы для интерквантильного промежутка……….. 155
2.4.6.1. Параметрические толерантные пределы………………………………. 155
2.4.6.2. Непараметрические толерантные пределы……………………………. 158
2.4.7. Бутстреп – оценивание……………………………………………………… 164
2.5. Статистические методы проверки гипотез…………………………………… 167
2.5.1. Постановка задачи и общие принципы…………………………………… 167
2.5.2. Критическая область и критическое значение……………………………. 168
2.5.3. Простые гипотезы…………………………………………………………… 170
2.5.4. Сложные гипотезы…………………………………………………………... 172
2.5.5. Проверка гипотезы о виде плотности распределения…………………….. 174
2.5.5.1. Критерий “хи - квадрат”………………………………………………… 174
2.5.5.2. Критерий Колмогорова – Смирнова…………………………………… 179
2.5.5.3. Критерий
Мизеса…………………………………………………… 181
2.5.6. Проверка гипотез при полиномиальной аппроксимации………………… 183
2.5.6.1. Критерий Кочрена проверки гипотезы о равенстве дисперсий……… 183
2.5.6.2. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома,
характеристики погрешностей измерений известны………………… 184
2.5.6.3. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома,
характеристики погрешностей измерений неизвестны………………. 188
2.6. Последовательная полиномиальная аппроксимация
с проверкой гипотезы о степени полинома…………………………………… 191
2.7. Проверка сложных гипотез о числовых характеристиках случайных
величин с контролем вероятностей ошибок первого и второго рода……….. 194
2.7.1. Основные положения……………………………………………………….. 194
2.7.2. Проверка сложной гипотезы о математическом ожидании………………. 195
2.7.3. Проверка сложной гипотезы о дисперсии…………………………………. 201
2.7.4. Проверка сложной гипотезы об интерквантильном промежутке………… 204
2.7.5. Проверка сложной гипотезы о числовых характеристиках
случайных величин с применением доверительных интервалов,
построенных методом бутстреп……………………………………………. 208
2.7.6. Проверка сложной гипотезы о вероятности методом статистического
последовательного анализа………………………………………………… 209
Библиографический список……………………………………………………………. 212
1. Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й
1.1. Предмет теории вероятностей
Теория вероятностей занимается установлением макрозакономерностей, которым подчиняются массовые однородные случайные события. Теория вероятностей не стремится предсказать единичное событие.
Однородные события – события, которые происходят при осуществлении одних и тех же условий S и подчиняются определенным макрозакономерностям независимо от природы событий.
Условия S необходимо подробно и тщательно описывать в каждом конкретном случае при постановке задаче исследования случайных событий.
1.2. Случайные события и вероятность
1.2.1. Случайные события, виды случайных событий, основные понятия и определения
Событие называется случайным, если в результате испытаний при осуществлении некоторой совокупности условий S оно может произойти или не произойти. Под “испытанием” может пониматься проявление какого-либо природного явления или спланированный исследователем эксперимент над рукотворным или природным объектом.
Элементарный исход – результат одного испытания в условиях S.
Характеризационное
свойство (признак) элементарных исходов:
элементарные исходы взаимно исключают
друг друга, и в результате каждого
испытания может произойти только один
из элементарных исходов. Обозначение
элементарного исхода
.
Примеры элементарных исходов:
результат бросания монеты на идеальную плоскость;
результат бросания игральной кости и выпадение на верхней грани какого-либо числа;
результат одновременного бросания нескольких игральных костей и выпадение на верхних гранях всех костей определенной комбинации цифр.
Все
элементарные исходы, возможные при
условиях S,
образуют пространство элементарных
исходов
:
,
i
= 1, 2, ... .
Каждый
элементарный исход влечет за собой
появление какого-либо события. В общем
случае событие A
может произойти при появлении элементарных
исходов, принадлежащих некоторому
подмножеству
пространства
,
.
Пусть
в целях некоторого исследования
сформулированы условия S
и события
и
,
которые могут произойти в результате
испытаний при появлении элементарных
исходов, принадлежащих подмножествам
и
,
,
.
Запишем это
сопоставление событий и элементарных
исходов в виде
, 
.
Пусть
в этих же условиях определено событие
B
следующим образом: “Событие B
происходит или при осуществлении события
,
или при осуществлении события
”.
При такой формулировке говорят, что
событие B
является
объединением событий
и
и записывают:
.
В этом случае подмножество элементарных
исходов, влекущих за собой событие B,
есть объединение подмножеств
и
:
,
где
.
Если
в этих же условиях принято, что событие
B
происходит, когда осуществляются события
,
и
,
то говорят, что событие B
есть пересечение
событий
и
,
и записывают этот факт в виде
,
причем и в этом случае
,
где
.
В
дальнейшем для упрощения обозначений
подмножество элементарных исходов
будем считать событием A,
так же его
обозначать, и вместо записи
или
будем писать A
.
Такое отождествление удобно использовать
также для наглядного представления
событий (см. рис. 1 – 3).
Обычно
пространство
представляют внутренностью прямоугольника,
каждая точка которой есть представление
элементарного события. В этом случае
совокупность элементарных событий
или
образует
некоторые замкнутые фигуры внутри
прямоугольника. Поскольку эти элементарные
события отождествляются с порождаемыми
ими событиями A
и B
взаимно однозначно, то в целях упрощения
эти замкнутые фигуры обозначаются A
и B
соответственно.
Случайные события могут образовывать классы событий, о чем пойдет речь ниже в разд. 1.2.2.
Виды случайных событий:
достоверное
событие Т
: (
)
– событие, которое непременно происходит
при появлении любого элементарного
исхода в условиях S;
невозможное событие – событие, которое не может произойти ни при одном элементарном исходе из пространства при условиях S;
события
A
и B
несовместны,
если появление одного из них исключает
появление другого из них, для
несовместных событий можно записать:
,
,
– пустое множество,
или в упрощенных обозначениях : A
,
B
,
A
B = ;
события
A
и B противоположны,
если они несовместны и A
B = Т, в этом
случае пользуются обозначениями B
=
или A =
;
события
образуют полную
группу попарно несовместных событий,
если при условиях S
осуществляется только одно из этих
событий и
,
,
.