1.6.8. Неравенство Чебышева
Н
еравенство
Чебышева позволяет сделать грубую, но
быструю оценку вероятности отклонения
значений случайной величины от ее
математического ожидания, превышающих
некоторое заданное положительное
значение A:
.
Несмотря на грубость получаемой оценки неравенство Чебышева имеет достаточно широкое и полезное применение благодаря тому, что оно справедливо для любых законов распределения, кроме закона распределения Коши. С одним из таких применений мы познакомимся в разделе 2 «Математическая статистика».
Запишем вероятность, подлежащую оценке, как интеграл от плотности распределения случайной величины по отрезкам оси
(-, M[]-A], (M[]+A, ),
то
есть по
множеству
,
как это видно из рис. 22:
.
Окончательно
.
Существуют другие записи неравенства Чебышева:
если
A
= k,
то
или 
.
Для того, чтобы оценить степень грубости оценки, вытекающей из неравенства Чебышева, сопоставим ее с точными значениями вероятностей, установленными в разд. 1.6.6.4 для нормально распределенной случайной величины.
Точные значения:
,
Значения вероятностей, полученных из неравенства Чебышева для тех же отклонений значений случайной величины от математического ожидания:
,
.
1.7. Двумерные непрерывные случайные величины (двумерные случайные векторы)
1.7.1. Функции распределения и плотности распределения
Рассмотрим двумерный случайный вектор, то есть двумерный вектор, каждая составляющая которого есть непрерывная случайная величина:
.
Как и ранее, случайный вектор и его случайные компоненты обозначим греческими буквами, а значения, которые может принимать вектор и его компоненты – соответствующими латинскими буквами, то есть будем считать, что случайный вектор ζ принимает значения
.
Функция распределения двумерного случайного вектора есть вероятность совместного осуществления событий:
.
П
лотность
распределения, как и ранее, есть
производная от функции распределения
по обоим аргументам:
,
поэтому
.
Область интегрирования показана на рис. 23.
В силу монотонности вероятностной меры функция распределения – неубывающая функция по каждому аргументу, поэтому плотность распределения есть неотрицательная функция двух аргументов, которая описывает некоторую поверхность над координатной плоскостью. Эта поверхность приближается к плоскости x0y при удалении значений аргументов от начала координат в любом направлении. Понятно, что
.
Если по одному из аргументов ограничений нет, то
.
.
Таким
образом мы получили маргинальные
(частные)
функции распределения
и
.
Дифференцирование этих функций по их
аргументам, то есть дифференцирование
соответствующих интегралов по их верхним
пределам, по определению, дает маргинальные
(частные) плотности распределения:
,
.
О
пределим
условную
функцию распределения,
то есть функцию распределения одной из
случайных величин при условии, что
другая случайная величина принимает
некоторое конкретное значение, например,
.
Выделим на координатной плоскости область, показанную на рис. 24.
Вероятность
того, что случайный вектор принимает
значения из этой области, равна
.
В соответствии с формулой для условной
вероятности из разд. 1.2.3
.
Условная функция распределения получается в результате предельного перехода:
.
По
теореме о среднем, внутри интервала
найдется точка
,
такая, что
,
поэтому
.
Условная плотность распределения есть производная от условной функции распределения:
.
Аналогично
.
Обычно
обозначают
и
.
В этих обозначениях из полученных
формул следует
,
.
С учетом этих соотношений перепишем формулы для маргинальных распределений в виде:
,
.
Это формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин.
Поскольку
=
,
получаем формулу
Байеса для непрерывных случайных
величин:
.
Если
и
независимы, то
,
и поэтому
.
Справедливо и обратное: если , то из этого с необходимостью следует независимость и .
Признак независимости случайных величин: две случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их совместная плотность распределения может быть представлена как произведение маргинальных плотностей распределения этих величин (см. также разд. 1.2.3).