§ 1. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение 1. Если  n  N поставлено в соответствие некоторое вещественное число x_n, то говорят, что задана вещественная числовая последовательность (в дальнейшем, просто последовательность) x₁, x₂, ... ,x_n, ... Числа x₁, x₂, ... ,x_n, ... называются членами или элементами последовательности; x_n – общим членом последовательности; n – номером элемента.

Другими словами, последовательность есть счетное множество пар чисел x_n = (x; n), где х пробегает некоторое множество А  R, а n – множество N. При этом множество значений А последовательности может быть конечным, а числа n не повторяются.

Последовательность кратко обозначается символами {x_n}, {y_k} и т.д.

Вставка 1.

Опираясь на множество значений А последовательности {x_n}, легко переформулировать для последовательности понятия ограниченности или неограниченности последовательности с одной или обеих сторон. Например,

Определение 2. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если  M  R:  n  N |x_n|  M.

Вставка 2.

В теоретических и прикладных вопросах математики особая роль принадлежит бесконечно малым (б/м) и бесконечно большим (б/б) последовательностям.

Определение 3. Последовательность {x_n} называется б/б, если  E > 0 (сколь угодно большого)  n₀ = n₀(E) (n₀  N):  n > n₀ |x_n| > E.

Вставка 3.

Определение 4. Последовательность {_n} называется б/м, если  > 0 (сколь угодно малого)  n₀ = n₀() (n₀  N):  n > n₀ |_n| < .

Вставка 4.

Теорема 1. 1)Если {x_n} - б/б последовательность, то начиная с некоторого номера, определена б/м последовательность . 2) Если {_n} - б/м последовательность и все _n  0, то - б/б последовательность.

Доказательство. 1) У б/б последовательности лишь конечное число элементов может равняться нулю. Действительно, это следует из существования номера n₁ = n₁(A), начиная с которого |x_n| > A > 0. Поэтому можно говорить о последовательности при n > n₁.

Фиксируем  > 0. По определению б/б последовательности для : n > n₂ |x_n| > . Пусть n > max {n₁, n₂}. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде , что и означает, что последовательность - б/м (определение 4).

2) Предположим, что все члены б/м последовательности отличны от нуля. Фиксируем E > 0. Для или, что то же, при n > n₀. Это и означает, что последовательность - б/б.

Вставка 5.

Определение 5. Последовательности {x_n + y_n}, {x_n - y_n}, {x_ny_n}, при y_n  0 называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {x_n} и { y_n}. Под алгебраической суммой понимается либо {x_n + y_n} либо {x_n - y_n}.

Теорема 2. Алгебраическая сумма любого конечного числа б/м последовательностей есть последовательность б/м.

Доказательство. Очевидно, теорему достаточно доказать для алгебраической суммы двух б/м последовательностей {_n} и {_n}.

Фиксируем произвольное  > 0. Так как {_n} - б/м последовательность, то для  n₁ = n₁(): n > n₁

. (1)

Аналогично,  n₂ = n₂(): n > n₂

. (2)

Положим n₀ = max {n₁, n₂}. Тогда n > n₀ будут верны соотношения (1) и (2). Следовательно, n > n₀() будем иметь

|_n  _n|  |_n| + |_n| < .

Это, ввиду произвола  > 0, и означает, что последовательность {_n  _n} - б/м.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на б/м есть б/м последовательность.

Доказательство. Пусть последовательность {x_n} ограничена, а последовательность {_n} - б/м. По определению ограниченной последовательности  M > 0: n  N

|x_n|  M. (3)

Фиксируем произвольное  > 0. По определению б/м последовательности  n₀= n₀(): n > n₀

. (4)

Поэтому n > n₀ из (3) и (4) имеем

|_n x_n| = |_n|  |x_n| < M  = ,

что и означает, что последовательность {_n x_n}- б/м (определение 4).

Вставка 6.

Замечания. Из теорем 1 и 3 легко сделать следующие выводы:

1) Если k – фиксированное число и {_n}- б/м последовательность, то {k_n}- б/м последовательность.

2) Если {x_n} ограниченная последовательность, а {y_n} – б/б последовательность, то последовательность - б/м .

3) Если k  0 и {y_n} – б/б последовательность, то последовательность {ky_n}- б/б .