§ 6. Принцип математической индукции.
Для доказательства различных высказываний P(n), зависящих от n N, применяется принцип математической индукции.
Индукция – это переход от частного к общему.
Определение. Множество А R называется индуктивным, если: 1) 1 А, 2) х А (х + 1) А.
Вставка 1.
Исходя из понятия индуктивного множества, можно дать следующее определение натурального числа: число n R называется натуральным, если оно является элементом любого индуктивного множества.
Отсюда сразу следует, что 1 N, а также если n N, то (n + 1) N. Действительно, возьмем произвольное индуктивное множество А. Если n N, то n А. Тогда (n + 1) А. А т.к. множество А- произвольно, то (n + 1) N.
Таким образом, N – индуктивное множество, причем наименьшее из всех индуктивных множеств (в смысле принадлежности всем индуктивным множествам).
Теорема (Принцип математической индукции). Пусть дано высказывание P(n), n N. Предположим, что 1) высказывание Р(1) истинно, 2) если истинно P(n), то истинно также
P(n +1). Тогда высказывание P(n) является истинным n N.
Доказательство. Пусть М N – множество натуральных чисел, для которых высказывание P(n) является истинным. Тогда 1 М. в силу условия 2) из n М следует (n + 1) М. Это означает, что множество М индуктивно, т.е. М N. А т.к. М N, то М = N, т.е. множество тех n, для которых P(n) истинно, совпадает с N. Таким образом, P(n) истинно n N.
При доказательстве методом математической индукции используется следующая терминология: высказывание Р(1) - истинно – основание индукции; P(n) - истинно – индукционное допущение; P(n +1) – истинно – индукционный переход.
§ 3. Дифференцирование суммы, произведения, частного
Теорема 1
(дифференцирование суммы). Пусть
,
причем
Доказательство.
Пусть
.
Тогда, если
,
то
,
откуда
.
Так как по условию
,
,
то из теоремы о пределе суммы и последнего
равенства получим утверждение теоремы
4.
Теорема 2
(дифференцирование произведения).
Пусть
,
причем
.
Доказательство.
Как и в предыдущем доказательстве, если
,
получим
,
откуда
.
(1)
Поскольку из
условий теоремы имеем
,
,
,
то утверждение теоремы следует из
равенства (1).
Вставка 1.
Теорема 3
(производная частного). Пусть
и
.
Тогда
,
причем
.
Доказательство.
Так как функция
непрерывна
в точке
и
,
то по лемме
о сохранении знака
функции, имеющей предел, получим, что
> 0:
,
если
.
Тогда в этом случае, если
,
получим
,
откуда
.
Отсюда, как и при доказательстве предыдущей теоремы, заключаем о справедливости теоремы 3.
Вставка 2.
Заметим, что из теорем 1 – 3 в предположении дифференцируемости функций в точке получим равенства для дифференциалов:
,
,
. (2)
Билет № 7
1. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
2. Производные и дифференциалы высших порядков.