§ 5. Расширенная система вещественных чисел. Некоторые числовые множества.

Приведем еще одну геометрическую иллюстрацию вещественных чисел. Рассмотрим числовую прямую и окружность, касающуюся ее в точке О – начале отсчета.

P

-  +

x^’

x 0

Пусть ОР - диаметр. Построим отрезок Р , где точка лежит на числовой прямой. Пусть - точка пересечения отрезка Р и окружности. Если исключить из рассмотрения точку Р, то между множеством точек и множеством точек х устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке одного множества отвечает единственная точка другого множества, причем так, что различным точкам отвечают также различные точки. Дополним вещественную ось, а значит, и множество вещественных чисел , двумя символами – и + , которые будут соответствовать точке Р на окружности при рассмотренном правиле взаимно однозначного соответствия.

Определение 1. Под расширенной системой вещественных чисел будем понимать множество = , для элементов которого выполняются следующие условия:

1) R: – < < + , , , ;

2) если > 0, то

3) если < 0, то

Если необходимо подчеркнуть различие между символами с одной стороны, и вещественными числами, с другой, то последние будем называть конечными. Если нас не интересует знак, то будем писать символ

Заметим, что, например, операции или не определены (см. гл. II).

Определение 2. Пусть А  . Если А не ограничено сверху, то будем полагать sup A = + ; если А неограниченно снизу, то inf A = - .

В дальнейшем мы будем оперировать следующими числовыми множествами:

1) сегмент, или отрезок

2) интервал < <

3) окрестность точки

4) проколотая окрестность точки :

5) окрестность точки : где > 0, >0;

6. полусегменты, или полуинтервалы : = ( ] = [ ] \ { };

1. числовая прямая :

2. полупрямые : [

3. открытые полупрямые: > <

Все указанные множества, кроме 3) и 4), будем называть еще промежутками.

§ 2. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция определена в интервале (a, b) и дифференцируема в точке . Пусть , , , , .

Рис. 1

Проведем секущую ( см. рис.1), уравнение которой

.

Здесь

. (1)

Так как функция непрерывна в точке , то и, следовательно,

Рис. 2

Определение . Если существует конечный предел , то прямая называется наклонной касательной к графику функции в точке ; если то прямая называется вертикальной касательной к графику функции в точке (рис. 2).

По-другому, предельное положение секущей при называется касательной к графику функции в точке .

Теорема (о касательной). Пусть функция непрерывна в точке . В точке существует наклонная касательная тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке . При этом ее уравнение имеет вид

(2)

а значит, , где - угол наклона касательной к положительному направлению оси .

Доказательство. В силу (1) конечное существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел , причем . Отсюда и следует, что касательная в точке существует и ее уравнение имеет вид (2). Из курса аналитической геометрии . Поэтому

Следствие. равен приращению ординаты касательной в точке .

Действительно, первое слагаемое в (2) есть .

Вставка 1.

Рис. 3

Пусть - закон движения материальной точки; - длина пути, отсчитываемая от точки ; - время, за которое пройден путь . Пусть - положение точки в момент времени , а - в момент времени , - длина пути (рис. 3).

Тогда - средняя скорость движения на участке , а = есть величина скорости движения в точке - мгновенная скорость в точке .

Таким образом, . Отсюда - расстояние, которое прошла бы точка за промежуток времени , если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости в точке .

Если - количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за время , то есть сила тока в момент , а - количество электричества за время при постоянной силе тока I.

Билет № 6

1. Принцип математической индукции.

2. Дифференцирование суммы, произведения, частного.