4.3. Свойство Архимеда.

Свойство Архимеда для вещественных чисел состоит в следующем.

Теорема.  а R  n  Z: n > a  n – 1, т.е. множество Z – неограниченно сверху и снизу.

Доказательство. Докажем левое неравенство. Предположим, что множество Z ограниченно сверху. Тогда по теореме (п. 5.2) существует supZ = . По свойству 2) утверждения 1 n₀  Z: n₀ >  - 1. Но тогда n₀ + 1 > , причем (n₀ + 1)  Z. Это противоречит предположению. Следовательно, свойство Архимеда верно.

Следствие.  а, b  R ( a > 0) n  Z: na > b  (n – 1)a.

Действительно, достаточно взять , что возможно по доказанной теореме.

С геометрической точки зрения утверждение следствия означает, что каковы бы ни были отрезки длин а и b, a < b, первый отрезок укладывается во втором конечное число раз.

Если в теореме всюду операцию сложения заменить умножением, то получим другой вариант свойства Архимеда.

Теорема 1. Если a > 1 и y > 0, то  n  Z: a^{n – 1}  y < aⁿ.

Вставка.

Вопросы и упражнения.

1. Покажите, что в любом ограниченном сверху подмножестве множества N найдется наибольший элемент.

2. Покажите, что  > 0  n  N: . Сделайте отсюда вывод, что .

3. Докажите теорему 1.

§ 1. Производная и дифференциал

Определение 1. Пусть функция f определена в окрестности . Производной функции f в точке называется конечный предел

, , (1)

если он существует. Операция нахождения производной функции называется операцией дифференцирования.

Производную будем обозначать символами: .

Заметим, что формулу (1) можно переписать в виде

.

Вставка 1.

Определение 2. Если то будем говорить, что в точке существует бесконечная производная функции , равная соответственно

Определение 3. Числа называются односторонними производными.

Вставка 2.

Определение 4. Функция , определенная в , называется дифференцируемой в точке , если

, (2)

где - некоторая константа, не зависящая от , а зависящая только от точки ; линейная функция называется дифференциалом функции в точке и обозначается символами .

Таким образом, для дифференцируемой в точке х₀ функции имеем

. (3)

Если , то, с одной стороны, с другой, . Поэтому для независимой переменной и в дальнейшем чаще будем писать

Вставка 3.

Отметим, что если переписать (2) следующим образом , то легко видеть, что дифференцируемая в точке функция с точностью до б/м более высокого порядка, чем , равна линейной функции в . На этой основе строятся приближенные вычисления: .

Теорема 1 (связь между производной и дифференциалом). Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная, при этом

Доказательство. 1) Пусть функция дифференцируема в точке , тогда и . Поэтому и Отсюда .

2. Пусть . Тогда по лемме (гл. III, § 4 ) , где - б/м при . Отсюда получим . А это и означает, что функция дифференцируема в точке , причем

Последняя формула оправдывает обозначение .

Вставка 4.

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из условия теоремы имеем . Поэтому

что и означает непрерывность функции в точке .

Билет № 5

1. Расширенная система вещественных чисел. Некоторые числовые множества.

2. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала.