§ 4. Некоторые свойства вещественных чисел.

4.1. Модуль вещественного числа и его свойства.

Модулем или абсолютной величиной вещественного числа называется вещественное число |a|, удовлетворяющее условиям

.

Легко проверяемы свойства:

1) |a|  0; 2) |a| = |-a|; 3) a  |a|, - a  |a|.

Вставка 1.

Докажем свойства: a, b  R 4) |a + b|  |a| + |b| и 5) .

4)Действительно, из свойства 3) a  |a|, b  |b|. Тогда по аксиоме II₅, примененной дважды, получим

a + b  |a| + b  |a| + |b|.

Аналогично убеждаемся, что

- (a + b) = (-a) + (-b)  |a| + |b|.

Объединяя эти неравенства , получим 4).

5) Имеем

|a| - |b| = |(a – b) + b| - |b|  |a – b| + |b| - |b| = |a – b|.

Меняя a и b местами, получим

|b| - |a|  |b – a| = |a – b|.

Из полученных неравенств следует 5).

Отметим также следующие свойства модуля:

6) a, b  R |ab| = |a| |b|.

7) неравенство |a| <  эквивалентно двойному неравенству -  < a <  (системе неравенств ).

Вставка 2.

Вопросы и упражнения.

1. Докажите свойства модуля.

2. Докажите: |a – b|    b -   a  b + .

3. Решите неравенство в натуральных числах.

4. Для каких a и b имеет место знак равенства в свойстве 4)?

5. Для каких значений х справедливо неравенство |f(x) + g(x)| < |f(x)| + |g(x)|, если f(x) = x – 3, g(x) = 4 – x?

6. Дайте геометрическую иллюстрацию неравенства |a – b|  .

4.2. Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Определение 1. Числовое множество X  R называется ограниченным сверху (ограниченным снизу), если  M R ( m R):  x  X x  M (x  m).

Число М называется верхней гранью, m - нижней гранью множества Х.

Определение 2. Числовое множество X  R называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Используя свойство 7 модуля вещественного числа последнее определение можно сформулировать следующим образом.

Определение 2^. Числовое множество X  R называется ограниченным, если  M > 0:  x X |x|  M.

Вставка 1.

Определение 3. Числовое множество X  R называется неограниченным сверху (снизу), если  M  R (m R) x  X: x > M (x < m).

Числовое множество X  R называется неограниченным, если оно неограниченно хотя бы с одной стороны, т.е.  M > 0 x  X: |x| > M.

Вставка 2.

Если М – верхняя грань числового множества X  R, то любое число Р, Р > М, также является верхней гранью множества Х, т.е. в этом случае множество Х имеет бесконечно много верхних граней.

Определение 4. Наименьшая из верхних граней множества Х называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом (supremum).

Вставка 3.

Утверждение 1. M = sup X  1) x X x  M; 2) > 0 x_ X: x_ > M - .

Действительно, 1) означает, что М есть одна из верхних граней; 2) -, что эту грань нельзя уменьшить.

Вставка 4.

Определение 5. Наибольшая из нижних граней множества Х называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом (infimum).

Утверждение 2.  1) x X x  m; 2) ) > 0 x_ X: x_ < m + .

Вставка 5.

Утверждение 3. Неограниченное сверху (снизу) множество не имеет точной верхней (нижней) грани.

Для доказательства этого утверждения достаточно сравнить определение 3 и утверждение 1 (2).

Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху (ограниченное снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство. Пусть множество X  R ограничено сверху. Обозначим через Y множество верхних граней множества X. Тогда x  X и y Y верно неравенство x  y, т.е. X  Y. По аксиоме непрерывности  M R: x  X и y Y x  M  y. Первое неравенство означает, что M  Y, второе, что M = min y, т.е. M = sup X .

Вопросы и упражнения.

1. Существует ли наибольшая верхняя грань у ограниченного сверху множества?

2. Существует ли наименьший элемент у ограниченного снизу множества?

3. Укажите какие-либо верхнюю и нижнюю грани множества , если они существуют.

4. Докажите, что любое конечное множество вещественных чисел ограничено.

5. Будет ли ограниченным объединение и пересечение ограниченных множеств?

6. Будет ли неограниченным объединение и пересечение неограниченных множеств?

7. Имеет ли пустое множество верхнюю и нижнюю грани?

8. Найдите точные верхнюю и нижнюю грани множества Х = . Принадлежат ли они множеству Х?

9. Для каких числовых множеств inf X = supX?

10. Может ли быть верным неравенство supX < inf X?

11. Докажите единственность inf X и supX.

12. Пусть X и Y непустые множества вещественных чисел, причем Х ограничено сверху и Y  X. Докажите, что Y ограничено сверху и supY  supX.

13. Пусть А – множество чисел, противоположных по знаку числам из множества В, и В – ограничено. Докажите, что: а) infA = - sup B, б) sup A = - inf B.

14. Пусть {x + y} есть множество всех сумм x + y, где x  {x}, y  {y}. Докажите равенства: inf{x + y} = inf{x} + inf{y}, sup{x + y} = sup{x} + sup{y}.

15. Пусть А и В – ограниченные множества. Найти sup{A  B}, inf{AB}, sup{AB}, inf {AB}.