§ 7. Сравнение функций.

п. 1. О – символика.

Определение 1. Если для двух функций f и g существуют такие постоянные C > 0 и  > 0, что |f(x)|  C|g(x)| при 0 < |x – x₀| < , то говорят, что функция f является ограниченной по сравнению с функцией g в некоторой проколотой окрестности точки x₀ и пишут f(x) = O при x  x₀.

Символ x  x₀ указывает здесь только на то, что рассматриваемое свойство имеет место в некоторой проколотой окрестности , а не о пределе. Естественным образом это определение переносится на случаи x   ().

Вставка 1.

Определение 2. Если f(x) = O и g(x) = O при x  x₀, то f и g называются функциями одного порядка при x  x₀.

Вставка 2.

Теорема 1. Если  , то они одного порядка при x  x₀.

Доказательство. В самом деле, условие эквивалентно условиям

и , где . Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки x₀. Отсюда следует, что в указанной окрестности выполняются неравенства и , т.е. f (x) = O и g(x) = O при x  x₀.

Вставка 3.

Определение 3. Если (х) = (х)f(x), где , то говорят, что  является б/ м функцией по сравнению с функцией f при x  x₀, и пишут (х) = о (x  x₀).

Если f(x)  0 в некоторой , то данное определение можно переписать в виде соотношения . Таким образом, функция о при x  x₀ (f(x)  0) может быть определена с помощью соотношения .

В случае, если функция f является б/ м при x  x₀, то говорят, что функция (х) = о (x  x₀) является б/ м более высокого порядка, чем функция f при x  x₀.

Вставка 4.

Отметим, что если при x  x₀, то при x  x₀. В самом деле, пусть , где . Поскольку функция  ограничена в некоторой (| (x)|  c), то |f(x)|  c |g(x)| в этой , что и означает, что (x  x₀).

п. 2. Эквивалентные функции.

Определение 4. Две функции f и g называются эквивалентными при x  x₀, если в некоторой определена функция  такая, что

f(x) = (х)g(x), где . (1)

В этом случае будем писать f(x)  g(x) при x  x₀ (или x  x₀).

Вставка 5.

Отметим некоторые эквивалентные функции, которые следуют из предыдущего параграфа: при x  0 верно:

sin x  x, tg x  x, arcsin x  x, arctg x  x, 1 - cos^x  , a^x – 1  xlna (a > 0), ln(1 + x)  x , .

Теорема 2. Для того, чтобы функции f и g были эквивалентными при x  x₀, необходимо и достаточно, чтобы при x  x₀ выполнялось хотя бы одно из условий

f(x) = g(x) + o или g(x) = f(x) + o .

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть f(x)  g(x) при x  x₀, т.е. f(x) = (х)g(x), где . Тогда f(x) = g(x) + [(х) – 1]g(x) = g(x) + (x)g(x), причем (x) = (х) – 1 0 при x  x₀.

2. Достаточность. Пусть, например, при x  x₀ имеет место соотношение f(x) = g(x) + o , т.е. f(x) = g(x) + (x)g(x), где . Тогда f(x) = (1 + (x))g(x) = (х)g(x), где , т.е. f(x)  g(x) при x  x₀.

Вставка 6.

п. 3. Метод выделения главной части.

Определение 5. Пусть  и  - две функции, определенные в некоторой . Если при x  x₀ (х) = (х) + о , то функция  называется главной частью функции .

Аналогичным образом вводятся понятия главной части для случаев: x  x₀ -, x  x₀ +, x  , x  +, x  - .

Из теоремы 2 следует, что если f(x)  g(x) при x  x₀, то g - главная часть функции f, f - главная часть функции g при x  x₀.

Билет № 4

1. Некоторые свойства вещественных чисел.

2. Производная и дифференциал.