§ 3. Аксиоматика вещественных чисел.

Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел (N) появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые (Z) и рациональные числа (Q = Z, n  N). Затем возникла необходимость в иррациональных числах (J). Объединение рациональных и иррациональных чисел представляют множество вещественных или действительных чисел (R)

Множество R удовлетворяет следующим аксиомам.

1. Аксиома упорядоченности.  x, y  R выполнено x < y, или x = y, или x > y. При этом, если x < y, y < z, то x < z.

2. Аксиомы сложения.  x, y  R определено единственное вещественное число, называемое их суммой и обозначаемое x + y, причем

II₁. Переместительный (коммутативный) закон сложения:  x, y  R x + y = y + x ;

II_2. Cочетательный (ассоциативный) закон сложения:  x, y, z  R x + (y + z) = (x + y) + z;

II_3. Существование нулевого элемента (нуля): x  R  0 R: x + 0 = x;

II_4. Cуществование противоположного элемента: x  R  (- х)  R: x + (- х) = 0;

II₅. Если x < y, то  z  R x + z < y + z.

3. Аксиомы умножения.  x, y  R определено единственное вещественное число, называемое их произведением и обозначаемое xy (или xy), причем

III₁. Переместительный (коммутативный) закон умножения: xy = yx  x, y  R ;

III_2. Cочетательный (ассоциативный) закон умножения:  x, y,z  R x(yz) = (xy)z ;

III₃. Существование единичного элемента:  1 R: x  R x1 = x;

III₄. Cуществование обратного элемента:  x  0  x^-1 =  R: xx^-1= 1;

III₅. Если x < y и z > 0, то xz < yz; если x < y и z < 0, то xz > yz.

IY. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: (x + y) z = xz + yz  x, y,z  R.

Y. Аксиома непрерывности. Пусть А, В  R, причем  x  А и y  В x  y (В этом случае будем писать А  В). Тогда  x  А и y  В  z  R: x  z  y .

Отметим, что приведенная система аксиом может быть заменена другой, эквивалентной этой.

Вещественные числа необходимы в первую очередь для измерения различных величин. В связи с этим вещественным числам можно дать различную иллюстрацию, простейшая из которых связана с измерением длины отрезка. Если выбрать масштаб (отрезок, который принимается за единицу), то длину любого отрезка можно будет выразить некоторым вещественным числом (см. .§ 5 гл II). Можно показать, что справедливо и обратное, т.е. каждому вещественному положительному числу будет отвечать некоторый отрезок. При этом, если договориться вещественное число записывать десятичной дробью без девяток в периоде, то указанное соответствие будет взаимно однозначным. На этом принципе основано изображение вещественных чисел точками на числовой прямой: на прямой выбирается начало отсчета, масштаб и направление положительного отсчета (а значит, и отрицательного). Тогда множество R и множество точек на прямой эквивалентны. Поэтому вещественные числа называют еще точками.