§ 6. Формулы Тейлора и Маклорена и некоторые их применения

Пусть P_n (x) – многочлен степени n. Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано (гл. Y, § 1), ее можно представить в виде при . Поставим более общую задачу. Пусть функция имеет в точке производных. Требуется выяснить, существуют ли многочлены такие, что при , и если да, то сколько их.

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция раз дифференцируема в . Тогда при имеет место равенство

, . (1)

Доказательство. Положим . Поскольку , то .

Поэтому, применяя раз правило Лопиталя, получим

, откуда

= при , т.е. получили (1).

Определение. Многочлен называется многочленом Тейлора в окрестности точки , а при называется многочленом Маклорена, формула (1) называется - формулой Тейлора, а - остаточным членом в форме Пеано.

Вставка 1.

Теорема 2 (единственность разложения функции по формуле Тейлора). Пусть функция n раз дифференцируема в и при .

Тогда , т.е. представление в данном виде единственно.

Доказательство. Из условия теоремы и формулы Тейлора получим равенство

= .

Переходя здесь к пределу при , будем иметь Если теперь в предыдущем равенстве привести подобные и , сократить полученный результат на и вновь перейти к пределу при , то получим . Продолжая этот процесс, получим утверждение теоремы.

Вставка 2.

Теорема 3 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция раз дифференцируема в . Тогда найдется точка , лежащая между и такая, что

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Тогда, как показано в теореме 1, выполнены равенства . Положим . Для этой функции также имеем равенства . Поэтому, применяя раз теорему Коши (§ 1), получим, что , лежащие между и (при полагаем = ) такие, что

.

Применим еще раз теорему Коши: найдется точка , лежащая между и x_n , а значит, лежащая между и такая, что

.

Отсюда окончательно имеем

,

что и требовалось доказать.

Вставка 3.

Рассмотрим некоторые приложения формулы Тейлора.

I. Представление некоторых функций формулой Маклорена ( ):

а)  , б)  ,

в)  , г) ,

д)  .

Доказательство сразу вытекает из соотношений:

а)  , б)  в) 

г)  д)  .

Вставка 4.

II. Третье достаточное условие локального экстремума. Пусть дана функция . Если из производных, не обращающихся в нуль в точке , первой оказывается производная нечетного порядка, то не является точкой локального экстремума. Если же такой производной является производная четного порядка, то - точка локального экстремума, причем точкой максимума, если эта производная отрицательна, и минимума, если эта производная положительна.

Действительно, пусть , , - первая производная, отличная от нуля. Запишем формулу Тейлора в следующем виде

при .

Ясно, что при х, близких к х₀, . Поэтому при нечетном этот знак меняется в зависимости от полуокрестности, и потому экстремума в точке нет. При четном знак не меняется, что и означает наличие экстремума в точке .

Вставка 5.

III. Приближенные вычисления. При , близком к , из формулы Тейлора получим формулу для приближенных вычислений значения функции

,

причем за счет увеличения числа можно будет добиться наперед заданной точности вычислений (об этом более подробно будет изложено во второй части в теме «Ряды»).

Вставка 6.

IV.. Выделение главной части функции. Из формулы Тейлора следует, что главная часть функции f при равна, например, первому слагаемому , отличному от нуля.

Вставка 7.

Y. Вычисление пределов основано на формуле ~ при , где - многочлен Тейлора, что равносильно замене функции f ее главной частью при .