§ 2. Конечные и бесконечные множества.

Определение 1. Если  х  А по какому-либо правилу поставлен в соответствие единственный элемент множества В, причем так, что каждому элементу множества В отвечает единственный элемент множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие. Множества А и В в этом случае называются эквивалентными или равномощными.

Вставка 1.

Определение 2. Непустое множество А называется конечным, если оно эквивалентно какому-либо множеству B_n ={1, 2, ..., n}. В противном случае множество А называется бесконечным.

Определение 3. Множество А называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Другими словами, элементы счетного множества можно занумеровать.

Теорема 1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть М – бесконечное множество. Возьмем произвольный элемент из множества М и обозначим его через а₁. Так как М бесконечно, то в М найдутся элементы, отличные от а₁. Возьмем любой из них и обозначим его через а₂ и т.д. Продолжая этот процесс, мы получим счетное множество А = {a₁,а_{2, ...,} a_n,...}  M.

Из доказанной теоремы вытекает, что счетное множество среди бесконечных множеств самое «маленькое».

Теорема 2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство. Пусть А₁, А₂,… - счетные множества и А = А_i, где число слагаемых либо конечно, либо счетно. Пусть A_i = {a_in} = {a_i1, a_i2,...}. Составим бесконечную таблицу

a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . .

a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . .

a₃₁ a₃₂ a₃₃ . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Нумерацию элементов множества А проведем в порядке, показанном стрелками: b₁ = a₁₁,

b₂ = a₂₁, b₃ = a₁₂, b₄ = a₃₁,... . Если некоторые элементы повторяются, то их учитываем только один раз.

Указанным способом удается занумеровать все элементы множества А.

Теорема 3. Множество всех бесконечных десятичных дробей {x}, 0 < x < 1, несчетно.

Доказательство. Предположим, что это множество счетное. Тогда его элементы можно занумеровать:

х₁ = 0, а₁₁ а₁₂ а₁₃ …

х₂ = 0, а₂₁ а₂₂ а₂₃ …

х₃ = 0, а₃₁ а₃₂ а₃₃ …

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассмотрим дробь х = 0, b₁ b₂ b₃ ..., где b₁  а₁₁, b₂  а₂₂, b₃  а₃₃, . . . и b_i  0; 9. Тогда x  x_i i = 1, 2, 3, ... и 0 < x < 1, т.е. десятичная дробь х оказалась незанумерованной. Это противоречит предположению о счетности множества.

§ 6. Вычисление пределов.

В следующей главе будет показано, что если функция элементарна и точка , то В этом случае применимы теоремы о пределах, поскольку все слагаемые и сомножители ( значения функций в предельной точке ) конечны, причем предел знаменателя (если таковой имеется) должен быть отличен от нуля.

Пример 1. Найти .

Решение. Так как функция, стоящая под знаком предела, элементарна и , то

Таким образом, вычисление пределов от элементарных функций будет затруднено только в точках сгущения множества , не принадлежащих . Однако здесь иногда оказываются полезными свойства б/м и б/б функций.

Пример 2. Найти .

Решение. Так как , а - б/б функция при , то - б/м функция при и потому

Все остальные ситуации представляют неопределенности.

Условимся в обозначениях: () - б/б функция при х  х₀; (0) - б/м функция при х  х₀, отличная от нуля; (1) – функция, не равная 1 и имеющая в точке х₀ предел, равный 1. В этих обозначениях виды неопределенностей можно записать так: (здесь б/б функции одного знака), . Теоретически все неопределенности можно свести к какой-либо одной из них. Так, если за исходную взять неопределенность , то:

, либо ;

неопределенности логарифмированием сводятся к неопределенности . Однако на практике такие преобразования не всегда удобны. Рассмотрим некоторые рецепты для раскрытия указанных неопределенностей.

1. Для раскрытия неопределенности нужно разделить числитель и знаменатель функции на слагаемое, которое растет быстрее других (можно без коэффициента) и воспользоваться теоремами о пределах.

Пример 3.

Пример 4.

Ясно, что результат предельного перехода в таких функциях зависит только от высших степеней числителя и знаменателя (см. упр. 1).

2. При раскрытии неопределенности в зависимости от примера можно использовать следующие приемы.

2.1. В числителе и знаменателе выделяют множитель , > 0, после чего производят сокращение. В случае необходимости операцию повторяют.

Пример 5.

Пример 6.

Можно было сначала сделать замену , тогда

2. Если в выражении, стоящем под знаком предела, присутствуют тригонометрические и обратные тригонометрические функции, то полезным оказывается применение первого замечательного предела и его следствий.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

3. Если в выражении, стоящем под знаком предела, участвуют показательная , логарифмическая или биномиальная функции, то полезными оказываются следствия из второго замечательного предела.

Пример 10.

Пример 11.

Пример 12.

3. При раскрытии неопределенности в зависимости от примера выражение, стоящее под знаком предела, либо приводят к общему знаменателю, либо избавляются от иррациональности в числителе.

Пример 13.

Пример 14.

4. Неопределенность в зависимости от примера сводится к неопределенностям

Пример 15.

5. Неопределенности вида путем применения основного логарифмического тождества сводятся к неопределенности . При раскрытии неопределенности можно непосредственно пользоваться вторым замечательным пределом.

Пример16.

( здесь и далее ); либо

4. При вычислении некоторых пределов полезно знание следующих предельных соотношений:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з) ;

и) ; к)

Пределы а) - е) известны со школы. Рассмотрим предел ж).

Пусть и . Тогда

. (4)

Покажем, что

. (5)

Можно считать, что , т.к. при предел (5) очевиден. Пусть тогда

, где .

Но (бином Ньютона)

По теореме о «зажатой» функции получим , откуда . По той же теореме из предыдущего неравенства получим предел (5).

Далее, из этого предела и неравенства (4) имеем , или предел ж).

Если в пределе ж) заменить на и возвести в степень , то получим предел з). Предел и) вытекает из з) при замене на . Предел к) при следует из и) с помощью потенцирования. Если теперь заменить на , то получим предел к) при

Билет № 3

1. Аксиоматика вещественных чисел.

2. Сравнение функций.