§ 5. Правило Лопиталя

Теорема 1 (раскрытие неопределенности ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в , причем и в , и Тогда, если существует предел ( конечный или бесконечный)

, (1)

то существует равный ему предел

. (2)

Доказательство. 1) Пусть сначала . Доопределим функции и в точке по непрерывности, полагая , . Тогда к функциям и применима теорема Коши: , лежащая между и такая, что

. (3)

Так как при точка , то из (1) вытекает, что , а потому из (3) получим (2).

2) Пусть теперь . Сделаем замену . Тогда получим функции и . Они непрерывны и дифференцируемы в некоторой , причем и в . Действительно, , . Поэтому, если , то

.

На основании уже доказанного в 1) имеем окончательно

.

Вставка 1.

Существенно труднее доказывается следующая теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 2 (раскрытие неопределенности Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в , в и . Тогда, если ( конечный или бесконечный ), то .

Билет № 13

1. Свойства пределов функции.

2. Формула Тейлора и некоторые её применения.

§ 3. Свойства пределов функции.

Лемма (о сохранении знака функции, имеющей предел). Если , то  > 0:  sgn f(x) = sgn a.

Доказательство. Пусть, для определенности, а > 0. Возьмем  = а. По определению предела (по Коши)  = () > 0:  |f(x) – a| < a и, следовательно, верно неравенство f(x) – a > - a, откуда f(x) > 0 .

В случае а < 0 следует взять  = - а.

Теорема 1 (арифметические свойства пределов). Пусть функции f и g определены на множестве D и х₀ – точка сгущения D. Если , , то :

1) ;

2) ;

3) (при b  0).

Доказательство. Воспользуемся определением предела по Гейне и соответствующими теоремами о пределах последовательностей.

Пусть {x_n} D\{x₀} – произвольная последовательность. Тогда по условию теоремы . Поэтому

1 - 2) .

Аналогично, .

В виду произвола последовательности {x_n} получим 1) и 2).

3) Для доказательства предела частного воспользуемся леммой. Так как b  0, то функция g отлична от нуля в некоторой окрестности О(х₀). Поэтому, требуя дополнительно, чтобы {x_n} О(х₀), получим

.

А т.к. последовательности {x_n} – произвольная, то верно 3).

Следствие. Пусть , С  R и r  Q. Тогда:

1) ;

2) ;

3) .

Вставка 1.

Теорема 2. Пусть f(x)  0 (f(x)  0) для всех х из некоторой проколотой окрестности точки х₀, причем  . Тогда а  0 (а  0).

Доказательство. Предположим, что а < 0. Тогда по лемме в некоторой проколотой окрестности точки х₀ имеет место неравенство f(x) < 0, что противоречит условию теоремы.

Следствие. Пусть f(x)  g(x) для всех х из некоторой проколотой окрестности точки х₀ ( ), причем  и  . Тогда а  b.

Доказательство. Положим (х) = f(x) - g(x). Тогда (х)  0 х  . По теореме 1 . Тогда по теореме 2 a – b  0, т.е. а  b.

Определение 1. Функция f называется ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной) на множестве E  D_f, если множество f(E) ограничено сверху (ограничено снизу, ограничено).

Теорема 3 (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Если  , то функция f ограничена в некоторой окрестности точки х₀.

Доказательство. Пусть . Тогда по определению предела функции в точке (по Коши), например, для  = 1   > 0: , откуда |f(x)| < |a| + 1, что и означает ограниченность функции f в .

Определение 2. Функция  называется бесконечно малой (б/м) при х  х₀, если .

Определение 3. Функция F называется бесконечно большой (б/б) при х  х₀, если , т.е. (по Гейне) {x_n}  D_F\{x₀}, ,  последовательность {F(x_n)} - б/б ( ).

Теорема 4. 1) Если  - б/м функция при х  х₀, причем (х)  0, то - б/б функция при х  х₀.

2) Если F - б/б функция при х  х₀, то - б/м функция при х  х₀.

Доказательство непосредственно следует из определения предела функции в точке по Гейне и соответствующей теоремы для б/м и б/б последовательностей.

Аналогично получим

Теорема 5. 1) Сумма конечного числа б/м при х  х₀ функций есть функция б/м при х  х₀;

2) Произведение б/м при х  х₀ функции и ограниченной в функции есть

функция б/м при х  х₀;

3) Произведение любого числа б/м при х  х₀ функций есть функция б/м при х  х₀;

4) Частное от деления ограниченной в функции и б/б при х  х₀ функции есть функция б/м при х  х₀.