§ 2. Предел функции.

Определение 1. Пусть А  В. Точка х₀  В называется точкой сгущения множества А, если в любой ее окрестности найдется точка х  А, х  х₀.

Вставка 1.

Определение 2 (по Гейне). Пусть х₀  R{} – точка сгущения множества D_f. Число а  R{}называется пределом функции f в точке х₀ (или при х  х₀), если {x_n} (x_n D_f, x_n х₀ n  N), сходящейся к х₀ ( ), соответствующая последовательность {f(x_n)} значений функции f сходится к числу а ( ).

В этом случае пишут или f(x)  a при х  х₀.

Вставка 2.

Определение 3 (по Гейне). Пусть х₀  R{} – точка сгущения множества D_f. Число а  R{} называется пределом функции f в точке х₀ справа (слева), если {x_n} D_f, x_n > x₀ (x_n < x₀), сходящейся к х₀, соответствующая последовательность {f(x_n)} сходится к числу а.

В этом случае будем писать .

Правосторонний и левосторонний пределы называются еще односторонними и обозначаются соответственно f(x₀+), f(x₀-).

Вставка 3.

Определение 4 (по Коши, на языке окрестностей). Пусть х₀  R{} – точка сгущения множества D_f. Число а  R{} называется пределом функции f в точке х₀, если  > 0  = () > 0: .

Расшифровывая понятие окрестности в конкретных случаях, получим различные определения, например.

Определение 5 (по Коши, на языке « - » ). Пусть х₀  R – точка сгущения множества D_f. Число а  R называется пределом функции f в точке х₀, если  > 0  = () > 0: xD_f, 0 < |x – x₀| <,  |f(x) – a| < .

Вставка 4.

Определение 6. , если ₀ > 0:  > 0 x  .

Вставка 5.

Определение 7 (по Коши, на языке « - » ). Пусть х₀, а  R и х₀ - точка сгущения множества D_f. , если  > 0  = () > 0: xD_f, x₀ < x < x₀ +  (x₀ -  < x < x₀)  |f(x) – a| < .

Аналогично можно сформулировать понятия: .

Вставка 6.

Теорема. Определения пределов функции в точке по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство. Рассмотрим случай х₀, а  R.

1) Пусть по Коши. Выберем произвольную последовательность , . Это можно сделать, поскольку х₀ – точка сгущения множества D_f.

Пусть  > 0 и  = () > 0 выбраны согласно определению 5. Так как , то n₀:  n > n₀  0 < |x_n – x₀| <  . Поэтому в силу неравенства |f(x) – a| <  для 0 < |x – x₀| <  будет выполнено неравенство |f(x_n) – a| <  . А так как последовательность {x_n} – произвольная, то а является пределом функции f в точке х₀ по Гейне.

2) Пусть теперь число а является пределом функции f в точке х₀ по Гейне. Предположим, что а не является пределом функции f в точке х₀ по Коши. Тогда, согласно определению 6, для некоторого ₀ > 0 и  > 0 x  .

Если, например, выберем последовательность , то _n x_n  D_f: и . Первое неравенство означает, что , х_n  x₀. Но тогда, т.к. а есть предел функции f в точке х₀ по Гейне должны получить , что противоречит второму неравенству. Значит, наше предположение о том, что а не является пределом функции f в точке х₀ по Коши, не верно.