§ 4. Примерная схема исследования графика функции

Можно порекомендовать следующую схему исследования:

1. , точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты.

2. Симметрия графика: четность, нечетность, периодичность; точки пересечения с осями координат.

3. Наклонные асимптоты.

4. Использование первой производной: промежутки монотонности, локальные экстремумы.

5. Использование второй производной: интервалы выпуклости, точки перегиба, контроль локального экстремума.

6. Составление сводной таблицы.

7. Построение графика.

В случае необходимости можно определить еще несколько точек графика.

Пример 1. Исследовать и построить график функции .

Решение. 1) ,  - вертикальная асимптота.

2. График симметрией не обладает. Точки пересечения с осями координат: (0, 0).

1. наклонных асимптот нет.

2. ;

при и при - точка локального минимума.

5. ;

при и при - точка перегиба.

x		y			Эскиз
			–	+
0		0	0	0
(0, 2)			–	–
2	не опр.		не опр.	не опр.
(2, 3)			–	+
3		27	0	+
			+	+

Таким образом, график функции имеет вид (рис. 2).

Рис.2

Пример 2. .

Решение. 1)  и определены и непрерывны , причем , . Следовательно, функция определена при . Вертикальных асимптот нет, т.к. непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

2) График функции не обладает симметрией, т.к. ее область определения не симметрична. Точки пересечения с осями координат: (0, 0), (0, -2), , .

3) Так как при то наклонных асимптот нет.

4)  при , при у функции устранимый разрыв; при , при .

5)  при ; при , при .

t	x	y(x)			Эскиз
			–	+
–1	–3	–2	0	+
(–1, 1)	(–3, 1)	(–2, 2)	+	+
1	1	2
			+	–

Таким образом, получим график (рис. 3).

Рис. 3

Билет № 12

1. Предел функции.

2. Правило Лопиталя.