§ 3. Выпуклость, точки перегиба и асимптоты графика функции

Пусть функция непрерывна в интервале и дифференцируема в точке . Рассмотрим взаимное расположение графика функции и его касательной в точке , уравнение которой имеет вид .

Определение 1. Точка называется точкой выпуклости вверх (вниз), если , в которой , т.е. график функции в окрестности лежит ниже (выше) своей касательной в точке .

Определение 2. Если каждая точка интервала есть точка выпуклости вверх (вниз) для графика функции , то функция называется выпуклой вверх (вниз) на интервале (рис. 1 а,б).

а) б) в)

Рис. 1

Определение 3. Точка называется точкой перегиба графика функции , если при переходе через нее график меняет направление выпуклости (рис. 1 в).

Исходя из приведенных определений, достаточное условие выпуклости и перегиба графика функции можно выразить через первую производную (см. упр. 1). Однако мы ограничимся следующим утверждением.

Теорема 1. Пусть функция дважды дифференцируема в интервале . Тогда, если в , то функция выпукла вниз (выпукла вверх) на ; если функция меняет знак при переходе через точку , то - точка перегиба.

Доказательство. Пусть - касательная к графику функции в точке . Тогда по теореме Лагранжа получим

где и точка лежит между и .

Применим еще раз теорему Лагранжа к функции , получим

где точка лежит между точками и .

Поскольку точки и лежат по одну сторону от точки , то . В силу этого знак разности при совпадает со знаком , откуда и следует утверждение теоремы.

Вставка 1.

Определение 4. Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или

Из этого определения видно, что если есть точка бесконечного разрыва функции , то прямая есть вертикальная асимптота для графика функции . Верно и обратное.

Определение 5. Пусть , либо , либо . Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если .

Теорема 2 (нахождение наклонной асимптоты). Условие эквивалентно паре условий .

Доказательство. 1) . Из левого равенства получим , из правого - , что равносильно равенству .

2. Непосредственно из соотношения получим .

Билет № 11

1. Функции, виды функции.

2. Примерная схема исследования графика функции.

§ 1. Функция, виды функций.

Понятие функциональной зависимости является фундаментальным не только для математики. На нем построено изучение различных технологических процессов и природных явлений.

п.1. Определение 1. Пусть X и Y – два множества произвольной природы. Если х  Х по некоторому закону f поставлен в соответствие единственный элемент y  Y, то говорят, что на множестве Х задана однозначная функция (или просто, функция).

В этом случае множество Х называется областью определения функции; символ х – аргументом функции или независимой переменной; элемент y, соответствующий аргументу х, - значением функции в точке х, или зависимой переменной; множество всех y, принимаемых функцией на множестве Х, называется множеством значений функции f.

В дальнейшем область определения функции f будем обозначать символом D_f, а область значений – E_f.

Таким образом, чтобы задать функцию, надо задать ее область определения D_f и закон соответствия f, по которому определяется элемент y  Y. Поэтому две функции f₁ и f₂ считаются равными, если и х  D  f₁(х) = f₂(х).

Вставка 1.

В зависимости от природы множеств X и Y термин «функция» в различных разделах математики заменяется терминами: «отображение», «преобразование», «морфизм», «оператор», «функционал». «Отображение» - наиболее распространенный из них, и мы его также будем употреблять.

Если X, Y  R, то функция f называется вещественнозначной функцией одного вещественного переменного. Поскольку именно их мы и будем рассматривать, то будем использовать термин «функция».

Для функции (отображения) используются следующие обозначения: y = f(x), если известно D_f; .

п. 2. Определение 2. Если Е  D_f, то множество f(E) = { y  E_f | y = f(x), x  E} называется образом множества Е; Е в этом случае называется прообразом множества f(E); множество Е₁ = {х  D_f | f(x)  f(E) } называется полным прообразом множества f(E); если Е  D_f, то функция f рассматриваемая только на Е, называется сужением функции f на множество Е.

Вставка 2.

п. 3. Определение 3. Если E_f = E_g = E, E  R, и с  R, то положим:

(cf)(x) = cf(x); (f  g)(x) = f(x)  g(x); (fg)(x) = f(x)g(x); .

п. 4. Определение 4. Пусть задана функция f, D_f и E_f – ее области определения и значений соответственно. Пусть, далее, полный прообраз каждого элемента y  E_f состоит из одного элемента х  D_f (т.е. f(x) = y). Тогда, ставя в соответствие каждому y  E_f именно это х  D_f , получим новую функцию g: E_f  D_f, которая называется обратной по отношению к функции f и обозначается символом f^-1(y).

Функции y = f(x) и х = f^-1(y) называются взаимно обратными.

Вставка 3.

п. 5. Определение 5 (сравните с определением 1, § 1, гл. II). Если D_f = N, a E_f  R, то функция f называется вещественнозначной последовательностью.

п. 6. Основной способ задания функции – аналитический, т.е. с помощью одной или несколько формул. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход. При этом, если не указана область определения, то под ней понимают область допустимых значений, т.е. во-первых, указанная формула имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только вещественные числа.

Вставка 4.

п. 7. Определение 6. Пусть заданы две функции y = f(x) и z = F(y), причем E_f  D_F. Тогда х  D_f соответствует z по правилу z = F(y), где y = f(x). Эта функция, определяемая соответствием z = (x) = F(f(x)), называется сложной функцией или суперпозицией функций f и F. Используется обозначение F◦f.

Можно говорить о суперпозиции любого конечного числа функций, если она имеет смысл.

Вставка 5.

п. 8. Определение 7. Функции: постоянная y = C, C – константа, степенная у = х^, показательная у = а^х, логарифмическая y = log_ax, тригонометрические y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx и обратные тригонометрические y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций, называется элементарной.

Вставка 6.

п. 9. Определение 8. Графиком функции y = f(x) (х, у  R) называется множество точек на плоскости с координатами (x, f(x)), x  D_f.

Графическое изображение функции может быть использовано для задания функциональной зависимости. Такой способ задания функции называется графическим. Конечно, это задание приближенное, поскольку измерение отрезков можно производить лишь с определенной степенью точности.

п. 10. Часто используется табличный способ задания функции: логарифмические таблицы, таблицы тригонометрических функций, таблицы специальных функций.