§ 4. Подпоследовательности и предельные точки.

Договоримся в дальнейшем в случае б/б последовательности писать (+ ).

Определение 1. Пусть даны последовательность {x_n} и возрастающая последовательность {k_n}  N. Выберем из последовательности {x_n} элементы с номерами k₁, k₂, ... Полученная таким образом последовательность называется подпоследовательностью последовательности {x_n}. Будем в этом случае писать {x_n}.

Ясно, что  n k_n  n, причем порядок следования элементов в подпоследовательности сохраняется.

Вставка 1.

Теорема 1. Пусть . .

Доказательство. Пусть , т.е.  > 0 n₀ = n₀(): n > n₀  |x_n – a| < , если а – конечное (|x_n| > , если а = ). Так как k_n  n, то при n > n₀ будет верно ( ). А это и означает, что .

Следствие. Если из последовательности можно извлечь хотя бы две подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам (конечным или бесконечным), то последовательность расходится.

Вставка 2.

Определение 2. Точка называется предельной точкой (или частичным пределом) последовательности {x_n}, если в любой окрестности точки а содержится бесконечно много элементов этой последовательности.

Определение 3. Точка называется предельной точкой последовательности {x_n}, если из этой последовательности можно извлечь подпоследовательность : .

Нетрудно видеть, что в определении 2 в роли окрестности достаточно рассматривать O_(a).

Теорема 2. Определения 2 и 3 эквивалентны.

Доказательство. Рассмотрим случай конечного а (случай а =  рассматривается аналогично).

1) Пусть в любой O_(a) находится бесконечно много элементов последовательности {x_n}. Рассмотрим произвольную убывающую б/м последовательность {_n}. В выберем произвольный элемент , в выберем произвольный элемент так, чтобы k₂ > k₁. Это возможно, т.к. в бесконечно много элементов последовательности {x_n}. В выберем произвольный элемент с условием k₃ > k₂ и т.д.

В результате получим подпоследовательность . Так как , то по теореме о зажатой последовательности , что равносильно сходимости подпоследовательности к точке а.

2) Пусть {x_n}, . Тогда по определению предела в любой O_(a) лежат все элементы , начиная с некоторого, а их бесконечно много.

Теорема 3 (Больцано – Вейерштрасса). Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну конечную предельную точку.

Доказательство. Пусть последовательность {x_n} ограничена, т.е. a  x_n  b n N. Разделим отрезок [a, b] пополам. По крайней мере, один из полученных отрезков содержит бесконечно много элементов последовательности {x_n}. Обозначим его [a₁, b₁]. Пусть - какой-либо член последовательности {x_n} из [a₁, b₁].

Разделим отрезок [a₁, b₁] пополам. Хотя бы один из полученных отрезков содержит бесконечно много элементов последовательности {x_n}. Обозначим его [a₂, b₂] и выберем на этом отрезке элемент , k₂ > k₁.

Продолжая этот процесс, получим последовательность стягивающихся сегментов {[a_n, b_n]} и подпоследовательность , для которой . По лемме Кантора , с  [a, b]. Тогда по теореме о зажатой последовательности , а по определению 3 точка с является предельной для последовательности {x_n}.

Теорема 3^. Если последовательность {x_n} неограниченна, то  является ее предельной точкой, т.е  {x_n}: .

Доказательство. Рассмотрим О_М(), где М > 0 – произвольно. Так как {x_n} неограниченна, то . Пусть М₁ > . Тогда и т.д. продолжая этот процесс, получим , т.е.  есть предельная точка последовательности {x_n}.

Теорема 4. Если точка является единственной предельной точкой последовательности {x_n}, то .

Доказательство. Действительно, вне любой окрестности точки а может находиться только конечное число элементов последовательности {x_n}, т.к. в противном случае по теоремам 3 и 3^ найдутся еще предельные точки. А это и означает, что .

Объединяя теоремы 1, 4 и определение 3, получим следующее утверждение.

Теорема 4^. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы а являлась единственной предельной точкой последовательности {x_n}.

Определение 4. Пусть А – множество предельных точек последовательности {x_n}. Число supA (infA) называется верхним (нижним) пределом последовательности {x_n} и обозначается символом .

Следствие к теореме 4^. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы .